Физический маятник

pис. 2

Дифференциальное уравнение вращения тела (2) вокруг непод­вижной оси 0 принимает для маятника вид

(11)

где J - момент инерции маятника относительно оси 0.

В случае малых колебаний уравнение (11) переходит в уже из­вестное нам уравнение (9):

(12)

Через обозначена в данном случае величина

(13)

В соответствии с выражением (13) период колебаний физического маятника определяется выражением

(14)

Значит физический маятник, также как математический, обладает свойством изохронности, пока отклонения малы.

Из сопоставления равенств (10) и (14) получается, что мате­матический маятник с длиной

пр (15)

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Таким образом, формула для периода колебания физическо­го маятника (14) принимает вид, аналогичный формуле для периода колебаний математического маятника (10):

(16)

Величину (15) называют приведенной длиной физического маятника. Приведенная длина физического маятника - это длина такого мате­матического маятника, период колебаний которого совпадает с пе­риодом данного физического маятника.

Так как в выражение момента инерции J входит масса, то при­веденная длина физического маятника 1пр не зависит от его полной массы, а зависит только от его геометрической формы и распреде­ления масс.

Точка К на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс С, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника.

По теореме Штейнера [1] момент инерции маятника J относи­тельно оси 0 может быть представлен в виде

(17)

где Jc - момент инерции относительно оси С, параллельной оси вра­щения 0 и проходящей

через центр масс С маятника;

1 - расстояние между осями 0 и С. Подставив значение J в формулу (15), получим

lпр (18)

Отсюда следует, что приведенная длина 1пр всегда больше 1, так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра масс.

Докажем, что при подвешивании маятника в центре качания К приведенная длина, а значит и период колебаний будут теми же, что и вначале. Действительно, возьмем за ось вращения ось К, параллельную оси 0 (см.рис.2); тогда для этой оси на основании равенства (15)

Lпр’ (19)

где J’ - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр качания К;

1’=1пр- 1 (см.рис.2)

В соответствии с теоремой Штейнера

или с учетом выражения для 1пр (15)

(20)

Подставляя данное выражение в формулу (19), подучим

(20)

Правая часть равенства'(20) представляет собой приведенную длину 1пр данного маятника при старой оси подвеса 0 (15). откуда и следует доказываемое:

Inp'= 1пр"

Согласно равенству (16) будут равны и соответствующие пери­оды качаний маятника. Следовательно, точка подвеса и центр кача­ния обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром ка­чания.

На установленном свойстве взаимности основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотно­го маятника.

Оборотным называется такой маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов, опорные призмы, за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль ма­ятника могут перемещаться и закрепляться на нем тяжелые грузы. Если бы с помощью перемещения грузов можно было добиться того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм периоды коле­баний были одинаковы, то расстояние между опорными ребрами призм было бы равно 1пр - приведенной длине маятника. Тогда, измерив период колебаний маятника и зная 1пр, ив формулы (16) можно было бы вычислить ускорение свободного падения g. Однако, добиться полного совпадения периодов колебания около обеих осей подвеши­вания путем последовательного перемещения грузов чрезвычайно трудно. Поэтому поступают следующим образом С23.

При наблюдении колебаний около обеих осей мы подучим не­сколько различные периоды (14)

Где а₁ и а₂ - расстояния от центра тяжести до осей качания;

J₁ и J₂ - моменты инерции маятника относительно соответс­твующих осей качания. Согласно теореме Штейнера

и

Подставляя эти значения J₁ и J₂ в выражения для T₁ и T₂ и возво­дя их в квадрат, получим

Умножая обе части первого уравнения на a₁, а второго - на a₂ и вычитая одно из другого, будем иметь

откуда, с учетом того, что =lпр, следует

(21)

Уравнение (21) позволяет достаточно просто и с необходимой степенью точности найти величину ускорения свободного падения при приближенном равенстве периодов колебания оборотного маятни­ка.

Отметим, что применение физического маятника как оборотного позволяет избежать определения момента инерции J, которое даже для тел самой простейшей формы не может быть произведено с тре­буемой точностью.

Величина нормального ускорения свободного падения на уровне моря на 45-м градусе северной широты составляет 9,80655 м/с². На полюсах ускорение свободного падения больше (9,832 м/с²), а на экваторе меньше (9,780 м/с²). Широта г.Томска составляет прибли­зительно 57 градусов северной широты. Следовательно, полученное из эксперимента значение должно находиться в интервале от 9,806 до 9,832 м/с².