Лекция 5 Теоретические законы распределения случайных величин

Постановка задачи

В процессе статистического анализа лесоводственной информации, относящейся к некоторой случайной величине, теорию распределений применяют в двух основных направлениях:

• как основу статистических выводов, в частности, оценки параметров и проверки статистических гипотез;

• как средство и метод представления выборочных распределений.

В первом случае основополагающую роль играет нормальный закон распределения, во втором - в качестве модели можно применять самые различные типы распределения.

При этом в сходных практических ситуациях при рассмотрении одного и того же признака (показателя) возможно использование разных теоретических схем.

Объем выборки предопределяет приближенный характер решения задачи и необходимость статистической оценки ее результатов в виде «аппроксимации распределений», или «подгонки» эмпирических распределений теоретическим моделям.

Конкретными практическими целями аппроксимации являются использование законов распределения случайной величины в процессе свертки информации.

Обычно используют один из трех взаимосвязанных подходов:

• предполагаемый закон распределения выбирают на основе оценки теоретических предпосылок, предварительного анализа гистограмм, статистик распределения и т. д.;

• для ряда распределения вычисляют аналитические характеристики, и по ним определяют тип распределения в пределах некоторого семейства кривых;

• эмпирическое распределение преобразуют в известный, «более сглаженный» тип распределения.

Аппроксимация (сглаживание) включает определение параметров, входящих в заданный закон распределения (на основе выборочных статистик), вычисление теоретических или «выравнивающих» частот по полученной формуле и определение соответствия («согласия») между экспериментальными и теоретическими частотами при помощи критериев согласия.

Нормальное распределение

Этот тип непрерывного распределения, открытый в 1733 г. Муавром, имеет плотность распределения:

(1)

и функцию распределения (т. е. функцию накопленной вероятности):

, (2)

где

M - среднее значение;

 - среднее квадратическое отклонение.

Этими двумя параметрами нормальное распределение определяется однозначно, так как =3,142… и е=2,718... - общеизвестные константы.

Графически плотность распределения f(x) представляет собой симметричную относительно точки х = M колоколообразную кривую, форма которой зависит от величины среднего квадратического отклонения , являющегося параметром масштаба, а положение определяется величиной M (рис. 3.1).

Равенство нулю показателей косости и крутости - необходимое и достаточное условие, чтобы распределение было нормальным.

Закон нормального распределения играет особую роль как в теории статистического анализа, так и в его приложениях.

Для непосредственного вычисление вероятностей по (3.1) и (3.2) применяются таблицы значений f(x) и F(x), составленные для так называемого нормированного распределения.

Конкретное распределение «нормируют» путем замены переменных

z = (x-M)/σ , (3.3)

Расчет теоретических частот эмпирического ряда производят следующим образом:

1. Находят значения функции плотности вероятности нормального распределения (Приложение 2) для соответствующих величин нормирован-ного отклонения (3.3);

2. Вычисляют теоретические частоты ряда распределения n_i' по соответствующим данным объема выборки N, σ при величине классового промежутка i по формуле:

n_i' = . (4)

Наряду с вычислением теоретических частот необходимо определить меру соответствия теоретически полученной кривой эмпирическому распределению по критерию χ² Пирсона (Приложение 3).

Xi	ni	z	f(z)	n’i			ni - n’i	(ni - n’i)^2
				Факт.	Округ.
8	2	2,07	0,04682	2,07	2	0		0	0
12	6	1,63	0,10567	4,66	5	1		1	0,2
16	10	1,18	0,19886	8,78	9	1		1	0,11
20	14	0,74	0,30339	13,39	13	1		1	0,08
24	16	0,30	0,39876	17,61	18	-2		4	0,22
28	18	0,14	0,39505	17,44	17	1		1	0,06
32	14	0,58	0,33530	14,81	15	-1		1	0,07
36	9	1,02	0,23713	10,47	10	-1		1	0,1
40	6	1,46	0,13542	5,98	6	0		0	0
44	3	1,91	0,06438	2,84	3	0		0	0
48	2	2,35	0,02522	1,11	1	1		1	1
Σ	100				99				χ^2 = 1,84

см

Cумма всех значений частного дает величину χ² = 1,84 при (11-3) = 8 степенях свободы вариации. Табличное значение =2,73 (по табл. Приложения 3). Так как =1,84 меньше =2,73, то делаем заключение о подчинении распределения эмпирических частот закону нормального распределения.

В целом предположение о том, что эмпирическое распределение строго соответствует нормальному закону, подтверждается относительно редко. Например, если в условиях, близких к требуемым по центральной предельной теореме, некоторые факторы влияют сильнее, чем другие, то распределение случайной величины становится несимметричным, хотя кривые распределения напоминают общие контуры нормальной кривой. Такие распределения (близкие к нормальным) обычны для лесного опытного дела. Далее рассмотрим одно из такого рода распределений – логарифмически нормальное.