Логнормальное распределение
Формируется в условиях, аналогичных предыдущему. Величина x распределена логнормально, если логарифмы ее значений u = lnx имеют нормальное распределение:
, (5)
где
u - среднее lnx;
u - дисперсия lnx.
Распределение зависит от двух параметров среднего и дисперсии логарифмов значений x.
Кривая распределения имеет левостороннюю асимметрию (рис. 3.2), которая возрастает с увеличением u, поэтому хорошо аппроксимирует распределения с отрицательной косостью. Если для величины x известно среднее M и дисперсия 2, то параметры логнормального распределения можно вычислить непосредственно по формулам:
u2 = ln(2/M2 +1) , (6)
Mu = lnM - u2/2 , (7)
а плотность логнормального распределения величины x
. (8)
Уравнение (3.8) задано на интервале [0, ].
Имеются многочисленные примеры использования логнормального распределения как модели при свертке лесоводственной информации.
Семейство кривых распределения Джонсона
Это семейство включает три типа кривых, представляющих распределение неограниченных случайных величин (тип SU), ограниченных с одной стороны (SL) и ограниченных с двух сторон (SB).
В общем виде семейство кривых Джонсона требует знания параметра положения , параметра масштаба и двух параметров формы - и .
Тип SL. Кривая распределения ограничена слева точкой , а значения x. Этот тип распределения зависит только от трех параметров , и *. Плотность распределения для нормированных значений величины x путем замены y=(x-)/ имеет следующий вид (y0):
(1)
В практике использования типа SL может встретиться два случая:
величина известна;
величина неизвестна.
В большинстве задач по аппроксимации кривых распределения величина , как правило, может быть определена нижней границей первого класса ряда распределения.
Если значение неизвестно, то из формулы преобразования исходного распределения с плотностью f(x) к нормированной нормально распределенной величине z имеем:
. (2)
Так как по выборке необходимо оценить параметры *, и . Для чего составляют три уравнения, приравнивающих три выборочных квантиля трем соответствующим квантилям нормированной нормально распределенной величины z
, (3)
где z и x - соответственно теоретические и выборочные квантили.
Целесообразно выбирать два симметричных квантиля, что упрощает расчеты, в противном случае приходится решать нелинейное уравнение. Вполне приемлемо брать =0,05; 0,5 и 0,95 (выбор других близких квантилей мало меняет результаты). Так как для нормированного нормального распределения |z0,05| = |z0,95| = 1.64, z0,5= 0, решением системы трех уравнений (4) находят:
, (4)
, (5)
. (6)
Рассмотрим технику вычисления выравнивающих частот по уравнению типа SL на примере аппроксимации при неизвестном .
Х(i) |
xi=c/2+xi |
ni |
Накоп- ленная частота |
Накоп- ленная частота, % |
Z |
F(zi) |
sum(ni) |
ni |
Эмпирии- ческая частота (n) |
Теорети- ческая частота (n) |
(n-n)2/n |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
4 |
6 |
11 |
11 |
2,8 |
-1,86 |
0,03 |
12,38 |
12,38 |
11 |
12,4 |
0,15 |
|
8 |
10 |
30 |
41 |
10,4 |
-1,25 |
0,11 |
41,91 |
29,53 |
30 |
29,5 |
0,01 |
|
12 |
14 |
55 |
96 |
24,4 |
-0,67 |
0,25 |
98,46 |
56,55 |
55 |
56,5 |
0,04 |
|
16 |
18 |
79 |
175 |
44,4 |
-0,14 |
0,44 |
174,92 |
76,47 |
79 |
76,5 |
0,08 |
|
20 |
22 |
78 |
253 |
64,2 |
0,36 |
0,64 |
252,42 |
77,50 |
78 |
77,5 |
0,00 |
|
24 |
26 |
57 |
310 |
78,7 |
0,83 |
0,80 |
314,18 |
61,76 |
57 |
61,8 |
0,37 |
|
28 |
30 |
41 |
351 |
89,1 |
1,28 |
0,90 |
354,41 |
40,23 |
41 |
40,2 |
0,01 |
|
32 |
34 |
26 |
377 |
95,7 |
1,70 |
0,96 |
376,52 |
22,11 |
26 |
22,1 |
0,69 |
|
36 |
38 |
11 |
388 |
98,5 |
2,10 |
0,98 |
387,04 |
10,52 |
11 |
10,5 |
0,02 |
|
40 |
42 |
6 |
N = 394 |
100 |
2,49 |
0,99 |
391,47 |
4,43 |
6 |
4,4 |
0,56 |
|
Рассчитанное значение Х2-Пирсона |
1,94 |
|||||||||||
Табличное значение Х2-Пирсона |
2,17 |
В столбец 1 таблицы 1 вписываем середины классовых промежутков Х. Во 2-ом столбце вычисляем верхние границы классовых промежутков. В 3-ем столбце вписаны частоты ряда распределения, в 4-ом рассчитывается их накопление. 5-ый столбец также содержит накопление частот, выраженное в процентах от общего числа N.
По данным столбцов 2 и 5 строим огиву ряда распределения, с которой снимаем значения квантилей, соответствующие вероятностям , равным 0,05, 0,5 и 0,95. Они соответственно составляют 7,4; 19,1 и 33,4. При использовании этих данных по формулам (4)-(6) рассчитываются параметры ряда распределения , * и :
;
;
;
;
Прежде чем приступить к вычислению теоретических частот по вычисленным выборочным оценкам, по формуле (2) [z=*+ln(xp-)] определяют нормированные нормально распределенные случайные величины (zi) и записывают их в столбец 6. По таблицам F(z) или непосредственно в пакете прикладных программ (в MS Excel с помощью функции F(zi) = НОРМСТРАСП(zi)) находим накопленную вероятность, соответствующую верхним границам классов ряда распределения и заносят данные в столбец 7.
В столбце 8, путем умножения величин столбца 7 на общее количество наблюдений (N), находят теоретические накопленные частоты ряда распределения. В 9-ом столбце производится вычисление частот по классам.
Правильность расчета теоретических частот ряда проверяют по величине χ2-Пирсона как сумму величин (n-n)2/n (столбец 12). В случае (χ2р) < (χ205) Нулевая гипотеза (Н0) - принимается, т.е. различие между эмпирическим и теоретическим распределениями не достоверно.