Кривые второго порядка
Уравнение
,
которое при условии
является общим уравнением прямой,
называется общим уравнением линии
первого порядка.
Уравнение второго порядка с переменными x и y
( 1 )
называется общим уравнением кривой второго порядка.
Пример. Пусть
и
,
.
( 2 )
Дополняя до полных квадратов, имеем
.
( 3 )
Уравнение (3) является уравнением
окружности при
.
Оно определяет только одну точку
при
.
Уравнение не оп-ределяет никакой линии
в случае
(иногда говорят, что оно оп-ределяет в
этом случае так называемую мнимую
окружность).
Пример. Определить вид кривой второго порядка
.
Дополняя до полных квадратов, получаем
.
Следовательно, данное уравнение
определяет окружность с центром в точке
и радиусом
.
Мы кратко рассмотрим другие важные примеры кривых второго порядка – эллипс, гиперболу и параболу.
Эллипс
Определение.
Эллипсом называется плоская кри-вая,
обладающая следующим свойством: сумма
расстоя-ний любой ее точки
от двух данных точек
(так называемых фокусов) является
постоянной величи-
Рис. 1
ной.
Предположим, что расстояние между
фокусами (фокусное расстояние) эллипса
равно
,
а сами фокусы расположены на оси Ox
симметрично относительно начала
координат,
.
Если положить, что
(см. рис. 1; очевидно, что
),
то после некоторых преобразований мы
полу-чим следующее уравнение эллипса
(так называемое каноническое уравнение
эллипса)
,
( 4 )
где
- положительное число, определяемое из
соотношения
.
( 5 )
Очевидно, что
.
Эллипс
симметричен относительно коор-динатных
осей и, следовательно, относительно
на-чала координат. Он пересекает
координатные оси в точках
,
Рис. 2 которые называются его вершинами (см. рис. 2).
Число a называется большой полуосью, а число b – малой полуосью эл-липса.
Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число
.
( 6 )
Очевидно,
.
Если (при фиксированном a)
,
то есть если эллипс приближается по
форме к окружности, то
.
Если же
,
то есть эллипс сжимается к от-резку AC,
то
.
Таким образом, эксцентриситет эллипса
является мерой его сплющенности.
Замечание. Уравнение (4) определяет
эллипс не только при условии
,
но и при противоположном условии
.
Достаточно положить
и заменить формулы (5), (6) следующими:
,
( 7 )
.
( 8 )
Для случая
большой полуосью эллипса является число
,
малой – число
,
а фокусы
располагаются на оси ординат.
Пример. Составить каноническое уравнение
эллипса, проходящего через две данные
точки
.
Точки
должны удовлетворять уравнение (4),
поэ-тому
Искомое уравнение эллипса
.
Пример. Доказать, что уравнение
явля-ется уравнением эллипса. Изобразить
его в плоскости xOy,
найти его фокус, вершины и эксцентриситет.
Разделив обе части уравнения на 36,
получаем
Рис. 3
,
то есть уравнение эллипса с полуосями
.
Большая полуось эллипса здесь
,
малая -
.
По формуле (7)
,
,
и фокусы эллипса
лежат на оси Oy (рис.
3). На основании формулы (8) эксцентриситет
эллипса равен
