50

Содержание Модуль 5

Раздел лекций 5

5 Методы планирования экстремальных экспериментов…………………….2

5.1 Пассивный и активный эксперименты…………………………………..2

5.2 Параметры оптимизации и требования к ним…………………………...4

5.3 Факторы и требования к ним……………………………………………..4

5.4 Планы первого порядка…………………………………………………...5

5.4.1 Полный факторный эксперимент……………………………………..6

5.4.2 Параметры оптимизации и требования к ним…………………..…...11

5.4.3 Дробные реплики………………………………………………………13

5.4.4 Выбор плана дробного факторного эксперимента…………………..13

5.5 Симплексный метод планирования эксперимента………………………14

5.6 Интерпретация и принятие решений по результатам

математического моделирования………………………………………………18

5.6.1 Интерпретация результатов математического

моделирования процессов………………………………………………………18

5.6.2 Принятие решений после построения

математической модели процесса……………………………………………...21

5.7 Оптимизация технологических процессов………………………………23

5.7.1 Метод Гаусса-Зейделя…………………………………………………24

5.7.2 Градиентные методы…………………………………………………..24

5.7.3 Метод крутого восхождения (Бокса-Уилсона)………………………25

5.7.4 Симплексный метод оптимизации……………………………………29

5.8 Планы второго порядка…………………………………………………...31

5.8.1 Полный факторный эксперимент……………………………………..31

5.8.2 Центральные композиционные планы………………………………..32

5.8.3 Ортогональные центральные композиционные планы……………...34

5.9 Решение задачи оптимизации…………………………………………….38

5.9.1 Исследование поверхности отклика второго порядка……………….38

5.9.2 Методы оптимизации…………………………………………………..41

Контрольные вопросы…………………………………………………………...44

Заключение……………………………………………………………………….45

Перечень ключевых слов………………………………………………………..47

Список использованных источников…………………………………………...48

5 МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Лекция 7

а) Методы планирования экстремальных экспериментов.

б) Пассивный и активный эксперименты.

в) Параметры оптимизации и требования к ним.

г) Факторы и требования к ним.

5.1 ПАССИВНЫЙ И АКТИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

В реальных условиях технологический процесс все время испытывает случайные колебания режима. Каждое отклонение режима рассматривают как эксперимент, и, обработав совокупность таких "экспериментов" методом наименьших квадратов, получают математическую модель процесса (уравнение регрессии). До сих пор мы рассматривали пассивный эксперимент. Цель пассивного эксперимента – получить математическую модель технологического процесса, пользуясь в качестве исходных данных результатами нормальной эксплуатации процесса.

Иными словами, исследователь занимая "пассивную" позицию, собирает некоторый объем экспериментальных значений факторов (X) и выходного параметра (У). Сбор исходных данных можно проводить как на производстве, так и на лабораторных установках (моделях). К организации пассивного эксперимента предъявляются определенные требования, выполнение которых обеспечивает сбор доброкачественного статистического материала (например, значения Х и У следует фиксировать в установившемся режиме одновременно и др.).

Пассивный эксперимент можно проводить как в производственных условиях, так и в лабораторных. В лабораторных условиях режим и количество экспериментов задаются исследователем произвольно.

Достоинство такого пассивного эксперимента – отсутствие затрат на эксперимент, данные получаются "сами собой". Но надежды, возлагавшиеся на этот метод, в большинстве случаев не оправдались.

Причины неудач состоят в следующем:

а) в нормальных условиях процесса колебания факторов невелики и малые различия плохо выделяются на фоне "шумов". Поэтому коэффициенты регрессии оцениваются со значительными ошибками, зачастую даже знаки их противоположны истинным;

б) факторы сильно закоррелированы. Это делает ненадежным анализ влияния отдельных факторов на процесс;

в) сами значения факторов в производственных условиях часто измеряются с заметными ошибками и поэтому применение метода наименьших квадратов, в его обычном варианте, становится некорректным.

Две первые причины характерны и для специально организованного эксперимента в лабораторных условиях, если не предусмотрены меры для их ликвидации.

В связи с этим, в теории эксперимента любой эксперимент, при планировании которого не учтено влияние плана на статистические свойства получаемых оценок, называется пассивным.

Этому методу предпочитают активный эксперимент, в основе которого лежит планирование эксперимента, то есть заранее по определенным правилам задается минимальное количество опытов и режим проведения эксперимента, которые жестко затем выполняются. Нарушение хотя бы одного из этих условий приводит к получению неадекватной математической модели.

Впервые методы планирования эксперимента были разработаны английским ученым Р. Фишером в конце 20-х годов, который показал целесообразность одновременного варьирования всеми факторами в противовес широко распространенному однофакторному эксперименту. В нашей стране аналогичные работы начаты в 1960 году под руководством В. В. Налимова.

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

При этом стремятся:

- к минимизации общего количества опытов;

- к одновременному варьированию всеми факторами по специальным правилам – алгоритмам;

- к использованию математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;

- к выбору четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Задачи, для решения которых можно использовать планирование эксперимента, чрезвычайно разнообразны:

- поиск оптимальных условий проведения процесса;

- построение интерполяционных формул;

- выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений;

- выбор существенных факторов, влияющих на процесс;

- оценка и уточнение констант теоретических моделей;

- исследование диаграмм состав – свойства и т.д.

Вот далеко не полный перечень задач, при решении которых применяется планирование эксперимента.

Задача поиска оптимальных условий проведения процесса является одной из наиболее распространенных научно-технических задач. Они возникают в тот момент, когда установлена возможность проведения процесса, и необходимо найти оптимальные (наилучшие) условия его реализации. На этом этапе обычно максимизируют выход продукта. Но это далеко не единственно возможная задача. Найденные условия (факторы) оказались бы другими, если бы ставилась задача минимизации количества примесей в готовом продукте или минимизация его себестоимости. Поэтому всегда следует четко формулировать в каком смысле условия должны быть оптимальными. Как правило, решают компромиссную задачу: максимизация выхода при минимальной себестоимости и определенном качестве продукта

Из описанного следует, прежде чем приступить к планированию эксперимента необходимо однозначно и непротиворечиво сформулировать его цель и выбрать подходящую количественную характеристику этой цели, которую мы называем параметром оптимизации (У).