5.8.3 Ортогональные центральные композиционные планы

Композиционные планы легко приводятся к ортогональным выбором соответствующего звёздного плеча(a) и преобразованием x_i². При этом достаточно обратить ту часть, которая связана со столбцами x₀ и x_i², т.е. с коэффициентами b₀ и b_ii.

Ортогональностью столбцов x_i² между собой производят изменением количества опытов в центре плана (n₀), вследствии чего изменяется длина звёздного плеча (а).

Обычно количество опытов(n₀) задаётся исследователем, а звёздное плечо вычисляется из следующих соотношений:

При k<5 ⁴+2^k²-2^k-1(k+0.5n₀)=0, (5.47)

При k>=5 ⁴+2^k-1²-2^k-2(k+0.5n₀)=0, (5.48)

Ортогональность столбцов x₀ и x_i² достигается с помощью преобразований квадратичных столбцов по формуле:

, (5.49)

Вычислив значения  и проведя следующее линейное преобразование квадратичных столбцов , получим ортогональную матрицу центрального композиционного плана второго порядка для к=2 и n₀=1 (таблица 11.3).

;

Величина звездного плеча, вычисленная по формуле (11.5) равна 1, т.е.

 = 1.

Таблица 11.3 – Матрица планирования экспериментов

N	X0	X1	X2	X1X2	X1^2	X2^2	Y	Y
1 2 3 4	+1 +1 +1 +1	-1 +1 -1 +1	+1 +1 -1 -1	-1 +1 +1 -1	0.33 0.33 0.33 0.33	0.33 0.33 0.33 0.33
5 6 7 8	+1 +1 +1 +1	+1 -1 0 0	0 0 +1 -1	0 0 0 0	0.33 0.33 -0.67 -0.67	-0.67 -0.67 0.33 0.33
9	+1	0	0	0	-0.67	-0.67

Аналогично ведётся расчет для x₂.

Благодаря ортогональности матрицы планирования, все коэффициенты уравнения регрессии независимы друг от друга и рассчитывается методом наименьших квадратов по формулам:

(5.50)

, (5.51)

В результате расчётов по матрице с преобразованными столбцами x_i² получим уравнение регрессии:

Для того, чтобы перейти к обычной формуле уравнения необходимо пересчитать В₀ по формуле:

(5.52)

И оценивают b0 с дисперсией, равной

(5.53)

Подставляя полученное значение b0 в уравнение регрессии получим его в следующем виде:

Y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂ x₁x₂+b₁₁x₁²+b₂₂x₂²

Далее проводим регрессионный анализ по первой схеме , т. е при наличии параллельных опытов.

1. Вычисляют построчные математические ожидания:

(5.54)

Где m-количество параллельных опытов.

2. Вычисляют построчные дисперсии:

(5.55)

3. Проверяют однородность дисперсий по критерию Кохрена (G):

(5.56)

Если Gр<Gтабл -дисперсии однородны

4. Вычисляют общую дисперсию воспроизводимости:

(5.57)

На практике иногда применяют несколько иной способ вычисления дисперсии воспроизводимости.

В любой точке плана (чаще в центре плана) проводят несколько параллельных опытов и по ним рассчитывают выборочную дисперсию, которую и принимают за дисперсию воспроизводимости. В этом случае расчёт проводят следующим образом:

а) вычисляют выборочное математическое ожидание:

(5.58)

(5.59)

Эту дисперсию принимают за дисперсию воспроизводимости , т. е

S²_воспр=S²

Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии:

(5.60)

где t_p-критерий Стьюдента;

Если t_p>t_табл,–коэффициент значим , в противном случаи незначим и из уравнения исключается. Оставшиеся коэффициенты b_I пересчитывать не нужно, т. к. матрица ортогональна и коэффициенты не зависят друг от друга .

6.Проверка адекватности уравнения регрессии:

(5.61)

(5.62)

где F_p–критерий Фишера;

S ²_ад – дисперсия адекватности;

l – количество значимых коэффициентов bi;

n – количество опытов;

- экспериментальный параметр оптимизации;

- расчётный параметр оптимизации.

Если F_p<F_табл – уравнение адекватно и можно проводить исследование поверхности отклика , а затем оптимизацию технологического процесса. В противном случае уравнение неадекватно и следует перейти к планам более высокого порядка.

Лекция 15

а) Решение задачи оптимизации.

б) Исследование поверхности отклика второго порядка.

в) Классификация поверхностей отклика второго порядка.