- •Методические указания
- •Типовой расчет по аналитической геометрии Для студентов-заочников 1 курса
- •Тема 1. Прямая на плоскости
- •Тема 2. Кривые второго порядка
- •Приведение к каноническому виду линии 2-го порядка
- •Классификация линий 2-го порядка. Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Ответ: Каноническое уравнение гиперболы .
- •Тема 3. Плоскость
- •И две плоскости q1 и q2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны:
- •Тема 4. Прямая в пространстве
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Воспользуемся уравнением плоскости по точке и вектору нормали:
- •Тема 5. Поверхности второго порядка
- •3. Конус второго порядка (рис. 25). Каноническое уравнение конуса имеет вид
- •Поверхности, заданные уравнениями
- •Поверхности, заданные в декартовой системе координат уравнением
- •Контрольные задания Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Задача 9
- •Задача 10
- •Задача 11
- •Библиографический список
- •Редактор г.М.Кляут
Министерство образования Российской Федерации
Омский государственный технический университет
Методические указания
И
Типовой расчет по аналитической геометрии Для студентов-заочников 1 курса
Омск – 2002
Составители: Назарук Елена Маратовна, преподаватель,
Ананко Алла Александровна, ассистент
Тема 1. Прямая на плоскости
Уравнение любой прямой , лежащей в плоскости XOY, является уравнением первой степени относительно текущих координат x , y и имеет вид
. (1)
Уравнение (1) называется общим уравнением прямой.
Если свободный член С равен нулю, то уравнение прямой имеет вид , ему удовлетворяют координаты точки О(0; 0), а прямая проходит через начало координат. Если коэффициент А=0, то уравнение принимает вид . Его можно переписать в виде , и эта прямая проходит через точку параллельно оси ОХ. Если коэффициент В = 0, то уравнение прини-мает вид Ах + С = 0. Его можно переписать в виде , и эта прямая проходит через точку параллельно оси OY.
Из общего уравнения прямой (1) можно получить уравнение прямой в отрезках.
Перенесем слагаемое С в правую часть: . Разделим левую и правую часть уравнения на минус С: . Введем обозначения . Получим – (2)
уравнение прямой в отрезках, где – отрезок, отсекаемый прямой на оси ОХ, – отрезок, отсекаемый прямой на оси OY (рис. 1).
Рис. 1
Всякий ненулевой вектор , перпендикулярный прямой, назовем нор-мальным вектором этой прямой. Рассмотрим на плоскости XOY произвольную прямую (рис. 2).
Рис. 2
Пусть точка – некоторая фиксированная ее точка и – произвольная точка. Тогда координаты вектора: .
Так как то их скалярное произведение равно нулю Выражая скалярное произведение через координаты векторов, запишем
. (3)
Полученное уравнение является уравнением прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Уравнение прямой, проходящей через точку , с данным угловым коэффициентом k (где – угол между прямой и положительным направ-лением оси OX) имеет вид . (4)
Всякий ненулевой вектор , параллельный данной прямой или лежащий на ней, назовем направляющим вектором этой прямой.
Рассмотрим на плоскости XOY произвольную прямую (рис. 3). Пусть точка – некоторая фиксированная ее точка, а – произвольная точка. Тогда координаты вектора . Так как векторы коллинеарны, то пропорциональны их соответствующие координаты:
(5)
Полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой.
Y
M
M1
X
Рис. 3
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , выражается формулой
. (6)
Пусть прямая задана общим уравнением (1). Разрешим его относительно y.
Введем обозначения . Окончательно получаем . (7)
Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Условием параллельности двух прямых с угловыми коэффициентами соответственно является равенство этих угловых коэффициентов: .
Условие перпендикулярности двух прямых выражается равенством или .
Если две пересекающиеся прямые не перпендикулярны, то тангенс угла φ между ними находится по формуле
. (8)
Пусть даны две прямые с уравнениями и и требуется найти точку их пересечения. Так как эта точка принадлежит каждой прямой, ее координаты должны удовлетворять уравнению как первой прямой, так и второй. Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, следует решить систему уравнений
Пусть на плоскости XOY заданы прямая и точка . Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки М1 на эту прямую. Это расстояние выражается формулой
. (9)
Задача 1. Даны координаты точек А(1; 2), В(2; 5), С(-3; 6). Найти:
а) уравнение стороны АС треугольника АВС;
б) уравнение высоты ВН, ее длину;
в) уравнения медиан СС1, АА1 треугольника АВС;
г) точку пересечения медиан СС1, АА1;
д) угол А треугольника АВС;
е) уравнения сторон AD, CD параллелограмма ABCD;
ж) координаты вершины D параллелограмма ABCD.
Решение.
а) Воспользуемся уравнением прямой (5), проходящей через две точки, где – координаты точки А, – координаты точки С.
,
Ответ: Уравнение стороны АС: .
б) Найдем координаты вектора по формулам , . Так как высота ВН перпендикулярна вектору , он будет являться нормальным вектором этой прямой. Составим уравнение высоты, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку В(2; 5) перпендикулярно вектору нормали , где А=-4; В=4:
Длину высоты найдем, используя формулу (9), как расстояние от точки В до прямой АС (уравнение АС найдено в п. а)):
Ответ: Уравнение высоты ВН: x-y+3=0, ее длина .
в) Найдем координаты точки С1 – середины отрезка АВ:
.
.
Уравнение медианы СС1 составим, используя уравнение прямой, проходящей через две точки (5):
Уравнение медианы АА1 находится аналогично:
.
Ответ: Уравнение медианы СС1: 5х+9у-39=0,
уравнение медианы АА1: 7х+3у-13=0.
г) Точку пересечения медиан АА1 и СС1 найдем, решив систему их уравнений:
-16х = 0,
.
Ответ: точка пересечения медиан
д) Найдем уравнение стороны АВ, используя формулу (6)
.
Выразим отсюда y и найдем k1 – угловой коэффициент стороны АВ:
Уравнение стороны АС найдено в пункте а) :.
Выразим у и найдем k2 – угловой коэффициент стороны АС:
Угол А найдем по формуле (7) как угол между прямой АВ и АС:
Ответ: Угол
е) Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны, используем уравнение прямой (5)
.
Найдем координаты вектора : . Координаты точки А(1;2), т.е. . Следовательно, уравнение стороны AD:
.
Аналогично находится уравнение стороны CD: , :
Ответ: AD:
ж) Координаты четвертой вершины D параллелограмма ABCD найдем как точку пересечения прямых AD и CD. Решим систему
Ответ: D(-4; 3).