2.4 Расчёт статической модели гидросистемы

При постоянном воздействии система находится в установившемся равновесном состоянии. Ее фазовая координата (давление Р и расход Q) при этом постоянна. Такой режим функционирования системы называется статическим и достигается при постоянном внешнем воздействии:

– давления к потребителю (Р_В1, P_В2, P_В3, P_В4),

– подачи насоса Q_H.

При этом устанавливаются постоянные значения фазовых координат системы:

– расход в гидромагистралях,

– давление в упругом элементе.

Из данного утверждения следует:

(36)

Из (24) и (26) получаем систему для статического режима:

(37)

Учитывая нелинейные свойства диссипативных элементов гидравлической системы, их компонентное уравнение имеет вид:

(38)

Перенесем в правую часть системы внешние воздействия, тогда статическая модель будет иметь вид:

(39)

Для ее решения используются численный метод, для которого предварительно сформируем матрицу Якоби. Элементами матрицы Якоби для сформированной нелинейной системы являются частные производные от нелинейной вектор-функции по фазовым координатам системы (Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, P_У1).

(40)

Нахождение частной производной по расходу от давления в диссипативном элементе (38) имеет вид:

(41)

Матрица Якоби исходной гидросистемы имеет вид:

(42)

тогда матрица (42) принимает вид:

Для решения статической модели используем численный метод Ньютона, алгоритм которого включает следующие этапы:

– выбор начального приближения , где - вектор фазовых координат (Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, P_У1), V₀ – нулевой вектор-столбец;

– вычисление матрицы Якоби J_k в точке _K (k=0, 1, 2 …);

– вычисление вектора невязок . Вектор невязок получается из системы уравнений (27) для статического режима:

(43)

– определение вектора поправок:

. (44)

– определение нового приближения вектора искомых фазовых переменных:

. (45)

– проверка условия окончания итерационного процесса, при выполнении условия, что V_k и V_k+1 соизмеримы (совпадают до десятых), иначе происходит переход на предыдущие этапы и вычисляется следующая итерация.

Расчет фазовых координат при статическом процессе произведен в математическом пакете MathCad.

При Q_H = 100×10^-6 м³/с решением является матрица:

(46)

При Q_H = 300*10^-6 м³/с решением является матрица:

(47)

Результаты вычислений приведены в таблице 5.

Таблица 5 – Результаты статического анализа

Фазовая координата	при Qн=100×10^-6, м^3/с	при Qн=300×10^-6, м^3/с
Q1, м^3/с	7,228×10^-4	7,745×10^-4
Q2, м^3/с	-6,607×10^-4	-6,111×10^-4
Q3, м^3/с	-4,487×10^-5	1,984×10^-5
Q4, м^3/с	8,276×10^-5	1,168×10^-4
Pу1, Па	1,638×10^5	1,724×10^5