- •Множества. Операции над множествами.
- •Множество вещественных чисел. Свойства вещественных чисел.
- •Грани числовых множеств. Свойство точной грани.
- •Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней.
- •Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Действия над ними.
- •Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности: определение, свойства, связь между ними.
- •Понятие сходящейся последовательности. Предел последовательности.
- •Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Теорема о вложенных промежутках.
- •Понятие функции и способы ее задания.
- •Предел функции в точке.
- •Теорема о пределах функции.
- •I замечательный предел.
- •II замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции. Действия над ними.
- •Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
- •Определение непрерывной функции в точке, на отрезке. Определение кусочно-непрерывной функции.
- •Теорема о сумме, произведении, частном непрерывных функций.
- •I теорема Больцано – Коши.
- •II теорема Больцано – Коши.
- •I теорема Вейерштрасса.
- •II теорема Вейерштрасса.
- •Теорема о непрерывной сложной функции.
- •Теорема о непрерывной обратной функции.
- •Понятие производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Понятие дифференцируемости функции.
- •Непрерывность и дифференцируемость функции.
- •Понятие дифференциала. Геометрический смысл.
- •Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
- •Производные элементарных функций.
- •Теорема о производной обратной функции.
- •Производные обратных функций.
- •Теорема о производной сложной функции.
- •Производные высших порядков.
- •Дифференциалы высших порядков.
- •Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания, убывания функции в точке.
- •Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши.
- •Условие монотонности функции на интервале.
- •Стационарные точки. I достаточное условие экстремума.
- •Достаточное условие экстремума.
- •Направление выпуклости функции.
- •Точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба.
- •Достаточное условие точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Геометрический смысл наклонной асимптоты.
- •Понятие первообразной. Теорема и лемма о первообразной.
- •Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
- •Основные свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменных.
- •Интегрирование по частям.
- •Основные типы интегралов, берущихся по частям.
-
Асимптоты графика функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Геометрический смысл наклонной асимптоты.
ОПР1: Прямая x = X0 называется вертикальной асимптотой графика функции Y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim f(x) или lim f(x) при x X0+ или X0- равно + или -.
ОПР2: Прямая y = A называется горизонтальной асимптотой графика функции Y=f(x) при x+ (x -) если lim f(x) =A.
ОПР3: Прямая Y=k x + b (k 0) называется наклонной асимптотой графика функции Y=f(x) при x+ (x - ), если функцию f(x) можно представить в виде f(x) = k x + b + (x), где (x) 0 при x+ (x - ).
Геометрический смысл наклонной асимптоты: Рассмотрим случай x+.
Пусть M(x, y) – точка графика функции Y=f(x) и пусть прямая Y=k x + b является наклонной асимптотой графика функции при x+. Опустим перпендикуляры из точки М на ось абсцисс и на асимптоту. Пересечение первого перпендикуляра с осью ОХ назовем точкой N(x, Y1), а второго – точкой P. Тогда |MN|=|y - Y1|=|f(x) – (k x + b)|=| (x) | 0 при x+. d=|MP|=|MN| cos , где – угол между асимптотой и осью ОХ, и lim d=0.
Т. о., расстояние от точки M(x, y) графика функции до асимптоты стремится к 0 при x+, т. е. график функции неограниченно приближается к асимптоте при x+.
ТЕОР1: Для того, чтобы график функции Y=f(x) имел при x+ асимптоту Y=k x + b, необходимо и достаточно существование пределов lim (f(x)/x) =k и lim (f(x) - k x) =b при x+.
Док-во: Необходимость: Пусть график функции Y=f(x) имеет при x+ асимптоту Y=k x + b, т. е. для f(x) справедливо представление f(x) = k x + b + (x). Тогда при x+
lim (f(x)/x) = lim ((k x + b + (x)) /x) = lim (k + b/x + (x)/x) = k и lim (f(x) - k x) = lim (b +(x)) = b.
Достаточность: Пусть существуют пределы lim (f(x)/x) =k и lim (f(x) - k x) =b при x+. Из второго равенства, что разность f(x) - k x - b является бесконечно малой при x+. Обозначим эту бесконечно малую через (x), получим для f(x) представление: f(x) = k x + b + (x).
Для x - аналогично.
-
Понятие первообразной. Теорема и лемма о первообразной.
ОПР1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого x из этого промежутка выполняется условие F’(x)=f(x).
ЛЕММА: Функция, производная которой на промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежутке.
Док-во: Пусть для xX f ’(x)=0, тогда для X1, X2X, X1<X2 выполняется формула конечных приращений Лагранжа. (f ’(x)=0 - непрерывна, дифференцирована) f(X2) – f(X1) = f ’()(X2 – X1), ( X1, X2), f ’() =0 f(X1) = f(X2) f(x) = C.
ТЕОР: Если F(x) – первообразная для f(x), на промежутке X, то любая другая первообразная этой функции на промежутке X представлена в виде F(x) +C, где C – произвольная постоянная.
Док-во: Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X (xX) F’(x) = f(x). Пусть функция (x) – первообразная для f(x) (xX) ’(x) = f(x). Рассмотрим разность
((x) – F(x))’ = ’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 ((x) – F(x))’ = 0 на X для xX эта функция является постоянной (x) = F(x) + C, где C – произвольная постоянная.