§ 12. Система двух случайных величин. Совместные и частные законы распределения

В практике приходится иметь дело с задачами, в которых взаимо­действуют несколько случайных величин, называемых системами.

Например, координаты точек показания при стрельбе в мишень, размер и рост костюма, выпадение суммы очков при подбрасывании двух игральных костей и т. д.

Плановые геодезические сети содержат пункты, каждый из кото­рых характеризуется координатами х, у, нивелирные сети содержат в общем случае п узловых точек, отметки которых представляют со­бой п случайных величин и др. Наиболее простой является система двух случайных величин х и у или, как ее еще называют, двухмерная случайная величина.

Закон распределения системы двух случайных величин, как пре­рывных, так и непрерывных, чаще всего задают в виде функции сов­местного распределения

F(x,y)=P(X < x, y < Y).

Ее основные свойства следующие.

1. Функция F (х, у) есть неубывающая функция обоих своих аргу­ментов.

2. F () = F () = F () = 0.

3. F () = F₁ (x), F () = F₂(y),

где F₁(x) и F₂(y) - соответственно функции распределения случай­ных величин х и у, так называемые частные законы распределения.

4. F () = 1.

Для непрерывной двухмерной случайной величины (х,у), вводится плотность распределения (поверхность распределения)

обладающая свойствами:

1) , 2) .

Геометрически это означает, что полный объем тела, ограниченный поверхностью распределения и плоскостью хOу, равен 1.

Функция и плотность совместного распределения связаны следую­щим соотношением:

(1.78)

Так как φ(х) = F(), а частный закон распределения задан в виде плотности

то

(1.79)

Аналогично

(1.80)

Формулы (1.77), (1.79) и (1.80) позволяют найти частные законы распределения, зная совместный закон.

Однако обратную задачу - установить закон совместного распре­деления, зная только частные законы, можно решить не всегда. Лишь в случае, когда случайные величины х и у независимы, можно напи­сать

(1.81)

(сравните с теоремой умножения для независимых событий).

Случайная величина у называется независимой от случайной ве­личины х, если закон распределения величины у не зависит от того, какое значение приняла величина х.

Аналогично условной вероятности P(A₂/A₁) для событий вводятся так называемые условные плотности распределения: f(y/x) - плот­ность распределения у при условии, что случайная величина х приня­ла значение х, и f(x/y) - плотность распределения х при условии, что случайная величина у приняла значение у.

Если условные плотности (условные законы) распределения из­вестны, то плотность совместного распределения

(1.82)

или

(1.83)

Сравнивая выражения (1.82) и (1.83) с (1.81) приходим к математи­ческому условию независимости

(1.84)

или

(1.85)

Здесь имеется в виду так называемая вероятностная (статистиче­ская) зависимость. Вообще, различают два вида зависимостей - функциональную и вероятностную.

Функциональной зависимостью между двумя величинами X и Y называют такую зависимость, при которой каж­дому значению X соответствуют значения Y, которые можно точно

указать (например, у = , V = 4/3R³ и т. д.)

Вероятностной зависимостью между двумя ве­личинами X и Y называют такую зависимость, при которой каждому значению x соответствует распределение y, изменяющееся с изменением х (условное распределение). Вероятностная зависимость между слу­чайными величинами на практике встречается очень часто. Примеров можно привести очень много: рост и масса человека (эта зависимость выражается общеизвестной формулой У (кг) = X (см) - 100), высота и толщина дерева в лесу, размер и рост костюма. Вероятностная за­висимость является следствием воздействия на две случайные вели­чины одновременно как общих, так и раздельно действующих причин.

Рисунок 20. Рисунок 21.

Заканчивая описание системы двух случайных величин, приведем еще формулу для вычисления вероятности попадания случайной точ­ки (так можно называть двухмерную случайную величину) в произ­вольную область D

Формула

(l .86)

позволяет определить вероятность попадания в прямоугольник, огра­ниченный абсциссами и и ординатами и .

1.214. Система случайных величин (X, Y) распределена по закону

.

а) Найти коэффициент а;

б) установить, являются ли величины X, Y зави­симыми; найти ;

в) найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в пределы квадрата R, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину b = 2 (рис. 20).

Решение, а) Из условия

находим

б) Случайные величины X, Y независимы:

в)

1.215. Найти вероятность попадания случайной точки (х, у) в прямоуголь­ник R, ограниченный прямыми х = π/6, х = π/2, у = π/4, у = π/3, если F (х, у) = sin(x) sin(y) (0 ≤ х ≤ π/2; 0 ≤ y ≤ π).

Решение: Находим

и далее:

1.216. Система случайных величин (X, Y) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R со стороной 1 (рис. 21). Написать выражение плотнос­ти и функции распределения φ(х, у), F(x, у). Построить функцию распределения системы. Написать выражения φ₁(x), φ₂(y). Определить, являются ли случайные величины (X, Y) независимыми или зависимыми.

О т в е т :

Случайные величины (X,Y) независимы, так как φ (х, у) = φ₁ (х) φ₂ (у)

1.217. Дана плотность совместного распределения

Найти: а) величину с; б) F(x, у).

О т в е т :

a)

b)

1.218. Двухмерная случайная величина задана поверхностью распределения

Найти φ₁(x) и φ₂(y); зависимы ли х, у?

Ответ:

Величины х и y зависимы.

1.219. Двухмерная случайная величина (х, у) задана дифференциальной функцией

Найти условные плотности распределения.

Ответ:

1.220. Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам, заданным в виде частных кривых распределения

(нормальный закон) с параметрами и

(равномерный закон) в интервале (0,1).

Написать плотность совместного распределения.

Ответ:

Рисунок 22.

1.221. Двухмерная случайная величина распределена в первой четверти ко­ординатной плоскости с плотностью вероятности . Найти F(x,у) и вероятность попадания в прямоугольник, изо­браженный на рис. 22.

Указание. Коэффициент А найти из условия

Ответ: