2.4. Закон идеального газа

Эмпирически были открыты законы, связывающие параметры газа. Состояние газа при относительно низком давлении описывается уравнением Бойля- Мариотта, которые независимо друг от друга вывели это уравнение опытным путем. При постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная.

PV=const - закон Бойля-Мариотта

Это уравнение можно вывести на основании законов движения молекул газа, т.е. законов Ньютона. При этом газ рассматривают как систему частиц малого объема, не взаимодействующих друг с другом. Вычислим давление газа на стенку сосуда. В процессе взаимодействия молекулы со стенкой сосуда между ними возникают силы, подчиняющиеся третьему закону Ньютона. В результате проекция υ_x скорости молекулы, перпендикулярная стенке, изменяет свой знак на противоположный, а проекция υ_y скорости, параллельная стенке, остается неизменной (рис.2.7).

М олекула, имеющая горизонтальную составляющую импульса p_x, упруго сталкиваясь со стенкой, отскакивает от него в обратном направлении, при этом она приобретает импульс - p_x. Таким образом, изменение импульса молекулы в результате столкновения со стенкой составляет 2px. По закону сохранения импульса, такой же импульс приобретает стенка сосуда. За время t давление оказывают молекулы, которые находятся в пределах объема L S, где L=v_x t. Учитывая, что F = p / t=2mv_x/ t , можно определить давление, оказываемое одной молекулой. В объеме содержащем N молекул, давление на правую стенку оказывает N /2молекул, т.к. половина молекул двигается вправо, а половина влево.

Давление P= F/S= N/2∙2 mv_x/ St = N m(v_z)2 /v_x St= N m(v_х)2 /V; p= N m(vx)2/V; Молекулы имеют различную скорость, следовательно, мы должны приписать нашей скорости индекс «ср».

По теореме Пифагора в трехмерном пространстве

(v²)ср.=( v_x)² _ср + (v_y)² _ср + (v_z)² _ср =3(v_x)² _ср; .( v_x)² _ср=(v²)_ср./3; отсюда следует , где n=N/V – концентрация молекул газа. Тройка в знаменатели показывает, что молекула газа может двигаться независимо по трем направлениям, или, как говорят, молекула обладает тремя степенями свободы.

Это уравнение называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории газа. Его можно записать в виде PV=2/3NЕ_{кин. ср}.

Полученный закон устанавливает соотношения параметров газа, называемого идеальным, следовательно константа в уравнении Бойля- Мариотта (PV=const.) равна 2/3NЕ_{кин. ср}.

C другой стороны, закон справедлив при постоянной температуре T=const. Таким образом, имеется связь между температурой и средней кинетической энергией молекул.

Понятие температуры. Температура характеризует степень нагретости тела. Для определения температуры необходимо сравнить степень нагретости по отношению к другому телу. Если два тела с разной степенью нагретости привести в соприкосновение, то некоторое время будут меняться их параметры (объем, давление, плотность, размеры, при этом могут изменяться не все параметры, а какие-то из них поддерживаться постоянными). Через какое-то время эти параметры перестанут изменяться. Состояние тел, при котором их макроскопические параметры остаются неизменными называется термодинамическим равновесием. Температуры тел, находящихся в термодинамическом равновесии, считают одинаковыми. На этом основано измерение температуры, например, жидкостным термометром – когда объем жидкости в термометре перестанет меняться, считают, что его температура такая же, как у тела, с которым он соприкасается. Для определения значения температуры используют температурные шкалы. Одной из таких шкал является шкала Цельсия, в которой температуру тающего льда приняли за 0, а кипящей воды за 100 градусов. Шкалу между этими точками разделили на 100 равных частей и продолжили в обе стороны. Температура в градусах Цельсия фигурирует в законах Гей-Люссака и Шарля, которые как и закон Бойля-Мариотта были открыты опытным путем:

Закон Гей-Люссака При неизменном давлении объем данного количества газа прямо пропорционален температуре: V~T , при Р=const. V = V₀·(1 + α·t), где V – объем газа при температуре t°С; V₀ – его объем при 0°С.

Величина α называется температурным коэффициентом объемного расширения. Для всех газов a = (1/273°С–1, точнее 1/273,15°С^–1.

Закон Шарля При постоянном объеме давление газа прямо пропорционально абсолютной температуре: Р~T, при V=const; р = р₀(1+γt).

Здесь р– давление газа при температуре t, °С; р₀ – его давление при 0 °С.

Величина γ называется температурным коэффициентом давления. Ее значение не зависит от природы газа; для всех газов γ = 1/273,15 °С^–1.

Установленная этим законом зависимость используется в газовом термометре, в котором мерой температуры газа является его объем.

Из закона Шарля следует, что при t=-273⁰С давление идеального газа обращается в 0. Температурная шкала, в которой за 0 принята температура -273,15 ⁰С называется абсолютной или шкалой Кельвина. Цена деления шкалы кельвина совпадает с ценой деления шкалы Цельсия. Из закона Шарля следует, что давление данной массы газа пропорционально его абсолютной температуре, если объем газа остается постоянным. Аналогично из закона Гей- Люссака следует при постоянном давлении.

Связь абсолютной температуры с кинетической энергией молекул. В постоянном объеме и при нормальном давлении и температуре (р₀=10⁵Па; Т₀=273К) концентрация молекул газа - молярный объем при нормальных условиях. При изменении температуры до величины Т давление изменится до давления, равного: . используя это уравнение и уравнение идеального газа , можно получить соотношение - ; где к – постоянная Больцмана. к=1.38* 10²³ Дж/К .

Таким образом, средняя кинетическая энергия молекул может служить определением температуры и ее значения можно было бы выбрать в качестве температурной шкалы. Но температурную шкалу выбрали иначе, поэтому постоянную Больцмана можно рассматривать как переводной коэффициент для перевода температуры из энергетических единиц в привычные градусы температурной шкалы. Средняя кинетическая энергия молекул, выраженная через температуру имеет вид

Уравнение , учитывая приведенные соотношения, можно записать в виде p=nkT или pV=NkT, где V – объем газа, N – количество молекул газа.

Для одного моля газовый закон приобретает вид pV_μ=N_akT или pVμ =RT, где Vμ _– молярный объем; величина R= Nak носит название универсальной газовой постоянной. Универсальная газовая постоянная не зависит ни от рода газа, ни от его состояния.

Т.к. V_μ=V/ν, где ν – количество вещества и равно отношению массы к молярной массе m/ М, то Эта форма записи носит название (закона) Менделеева — Клапейрона.

Часто в процессах один из макропараметров газа остается постоянным. При этом уравнение состояния газа приобретает более простой вид. В зависимости от того какой параметр поддерживается постоянным процесс называют изохорным (постоянный объем), изобарическим (постоянное давление), изотермическим (постоянная температура).

Зависимости макроскопических параметров газа можно представить графически – изохоры, изобары, изотермы.

И деальный и реальный газ. Уравнение Бойля –Мариотта достаточно хорошо описывало поведение газов при достаточно низких давлениях. Для более высоких давлений и для газов с более сложным составом молекул наблюдались отклонения от рассмотренного уравнения. Более точное уравнение было найдено Ван-дер-Ваальсом и имеет вид: .

Уравнение Ван-дер-Ваальса содержит поправки а и б, физический смысл которых был найден тем же Ван-дер-Ваальсом. Он предположил, что на малых расстояниях r между молекулами действуют силы отталкивания, которые с увеличением расстояния сменяются силами притяжения. Кроме того, молекулы имеют объем, который не учитывается в уравнении идеального газа. Таким образом, поправка b учитывает объем, которые занимают сами молекулы, а поправка а – взаимодействие самих молекул. Практически идеальным можно считать одноатомный газ при малых давлениях.