СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
СОДЕРЖАНИЕ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7
§1. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ 7
§2. ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 9
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 11
§4. ИНТЕГРАЛ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 13
§5 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА, ВЫЧЕТЫ 15
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 18
§6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 18
§7 РЯДЫ ФУРЬЕ 20
§8 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 28
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ 34
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 38
Образец выполнения задания
Задание 5 №7.
Выделить вещественную
и мнимую часть функции 
и
проверить условия Коши Римана.
Решение: 
Ответ: 
.
Условия Коши-Римана не выполнены.
Задания по теме «Ряды Фурье» (§ 6) желательно проверить с помощью пакета прикладных программ и распечатку вложить в РГР. Приводим три наиболее популярных пакета и соответствующие адреса серверов:
-
Maple http://www.maplesoft.com;
-
MathCad http://www.mathsoft.com;
-
MathLab http://www.mathworks.com;
http://www.softline.ru
В конце семестра студент сдает выполненную РГР и защищает ее в установленные преподавателем сроки. Выполнение РГР оценивается в баллах в соответствии с рейтинговой системой, утвержденной в РГСУ. При этом каждая верно решенная задача оценивается в 1 балл. Задача считается решенной, если приведено решение, в котором безошибочно выполнены все преобразования и даны необходимые пояснения, записан правильный ответ. Максимальное число баллов, которое может быть выставлено за выполнение РГР составляет 20 баллов. Работа, оцененная менее чем в 12 баллов, считается не выполненной. Студент, не сдавший РГР, не допускается к экзамену (зачету) по ТФКП и ФА
Теория функций комплексного переменного §1. Действия с комплексными числами
Мнимой единицей
называется величина, которая удовлетворяет
равенству
.
Символически обозначают
.
Из этого определения следует, что
Алгебраическая форма записи комплексного числа
Комплексным числом
называют выражение вида
,
в котором
и
- вещественные числа, называемые
соответственно действительной и мнимой
частями комплексного числа z
.
Комплексное число
определяется упорядоченной парой
вещественных чисел
и поэтому изображается в прямоугольной
системе координат точкой
или ее радиус-вектором
.
Два комплексных
числа
и
называются
равными, если
.
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, определяются следующим образом:
Сложение, вычитание, умножение и возведение в степень комплексных чисел можно выполнять по правилам этих действий с многочленами.
Числа
и
называются сопряженными.
Чтобы разделить одно комплексное число на второе, можно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное знаменателю.
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
Формула Эйлера:
Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.
1.
2.
3.
- формула Муавра
4.
ЗАДАНИЕ 1
Вычислить
,
если:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
ЗАДАНИЕ 2
Найти все значения корня.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
ЗАДАНИЕ 3
Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам.
§2. Функция комплексной переменной
Если каждому
комплексному числу
на
комплексной плоскости Z
ставится в соответствие по определённому
закону одно или несколько чисел
из
множества Е
на комплексной плоскости W,
то w-
функция комплексной переменной z,
D
– область существования, E
– область
изменения w
. Геометрически
- отображение области D
комплексной плоскости
Z
на область
E
комплексной плоскости
W.
Основные элементарные функции.
1.
2.
3.
Следствие:
4.
5.
ЗАДАНИЕ 4
Вычислить.
ЗАДАНИЕ 5
Найти образ E
области D
плоскости z
при отображении функцией
.
