- •Теория функций комплексного переменного §1. Действия с комплексными числами
- •§2. Функция комплексной переменной
- •§ 3. Дифференцирование функции комплексной переменной
- •§4. Интеграл в комплексной плоскости
- •§5 Ряды тейлора и лорана, вычеты
- •Функциональный анализ §6 линейные пространства
- •§7 Ряды фурье
- •§8 Интеграл лебега
- •Задачи повышенной сложности
- •Список рекомендованной литературы
§8 Интеграл лебега
Пусть f(x) – ограниченная измеримая функция, определённая на измеримом множестве Е и принимающая значения между A и B : . Разобьём отрезок [A;B] оси Oy точками , и построим следующие суммы: , которые называются, соответственно, нижней и верхней суммами Лебега.
Если существует общий предел верхних и нижних сумм Лебега при стремлении к нулю λ – наибольшей длины отрезков (yi-1 ;yi ) , то этот общий предел называется интегралом Лебега от функции f(x) по множеству Е:
Теорема. Если две измеримые ограниченные на Е функции φ(x) и ψ(x) различаются друг от друга только на множестве меры нуль, то их интегралы Лебега равны между собой:
.
Введённые обозначения: mE – мера множества Е; К –канторово множество, СК- дополнение канторова множества; Q’ –множество рациональных точек отрезка [0;1], CQ’- дополнение множества Q’/
ЗАДАНИЕ 20
На интервале [a;b] построить график функции . Найти .
ЗАДАНИЕ 21
Вычислить , если
Задачи повышенной сложности
-
Докажите, что , и дайте этому неравенству геометрическую интерпретацию.
-
Нарисуйте на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию.
-
Пусть корни уравнения . Докажите, что .
-
Какие значения может принимать arg z, если ?
-
Построить линию, заданную уравнением
-
Найти наибольшее значение |z|, если
-
При каких значениях система имеет единственное решение? Найдите его.
-
Центр квадрата находится в точке z0=1+i, а одна из вершин в точке z1=1-i. Найти координаты остальных вершин квадрата т его площадь.
-
Точка z движется по линии . По какой линии движется точка .
-
Какие значения может принимать , если ?
-
Построить линию, заданную уравнением .
-
Докажите, что если =1 и , то точки zk являются вершинами равностороннего треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом 1.
-
Найти наибольшее значение |z|, если .
-
На окружности найти точки z, для которых модуль минимален.
-
Изобразить множество точек z на комплексной плоскости, удовлетворяющее неравенству .
-
Найти наименьшее значение |z|, если
-
Точка z движется по линии . По какой линии движется точка .
-
Докажите, что если =1 и , то точки zk являются вершинами вписанного в единичный круг прямоугольника.
-
Найти наименьшее значение |z|, если .
-
Решить систему
-
На окружности найти точки z, для которых модуль максимален.
-
Точка z движется по линии . По какой линии движется точка .
-
Доказать, что если , то
-
Какие значения может принимать , если ?
ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ
№в\№з |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
15 |
22 |
10 |
24 |
5 |
15 |
9 |
21 |
17 |
18 |
13 |
19 |
15 |
2 |
18 |
19 |
20 |
18 |
4 |
3 |
2 |
7 |
12 |
17 |
21 |
16 |
17 |
18 |
13 |
20 |
17 |
5 |
8 |
8 |
2 |
14 |
7 |
20 |
17 |
5 |
13 |
3 |
14 |
15 |
19 |
11 |
5 |
9 |
12 |
3 |
5 |
11 |
16 |
14 |
7 |
5 |
3 |
16 |
13 |
12 |
12 |
12 |
4 |
9 |
10 |
20 |
6 |
6 |
1 |
14 |
14 |
8 |
13 |
22 |
4 |
19 |
7 |
20 |
24 |
12 |
2 |
5 |
12 |
5 |
7 |
24 |
8 |
15 |
3 |
13 |
9 |
13 |
7 |
15 |
13 |
5 |
8 |
7 |
24 |
10 |
15 |
17 |
13 |
4 |
6 |
23 |
13 |
19 |
15 |
5 |
3 |
16 |
8 |
6 |
12 |
16 |
15 |
10 |
15 |
8 |
13 |
15 |
20 |
4 |
19 |
7 |
7 |
9 |
10 |
19 |
23 |
18 |
22 |
8 |
4 |
17 |
23 |
20 |
16 |
8 |
17 |
11 |
3 |
2 |
10 |
23 |
8 |
21 |
23 |
24 |
6 |
12 |
10 |
8 |
24 |
17 |
6 |
20 |
17 |
16 |
15 |
9 |
4 |
17 |
13 |
8 |
13 |
9 |
22 |
17 |
13 |
21 |
6 |
18 |
12 |
5 |
7 |
11 |
15 |
2 |
18 |
4 |
24 |
6 |
15 |
10 |
23 |
15 |
10 |
24 |
15 |
13 |
8 |
5 |
20 |
23 |
13 |
4 |
12 |
24 |
15 |
7 |
4 |
24 |
13 |
22 |
23 |
13 |
21 |
11 |
15 |
8 |
11 |
12 |
17 |
15 |
22 |
20 |
5 |
20 |
21 |
8 |
5 |
16 |
9 |
5 |
22 |
23 |
10 |
17 |
12 |
10 |
9 |
14 |
12 |
8 |
6 |
21 |
12 |
18 |
22 |
4 |
24 |
3 |
4 |
9 |
14 |
22 |
9 |
20 |
3 |
13 |
16 |
17 |
13 |
21 |
11 |
18 |
23 |
19 |
10 |
8 |
8 |
12 |
2 |
5 |
15 |
14 |
14 |
15 |
11 |
8 |
14 |
3 |
5 |
15 |
23 |
1 |
22 |
22 |
10 |
14 |
21 |
23 |
22 |
12 |
12 |
17 |
12 |
22 |
8 |
5 |
6 |
15 |
8 |
4 |
19 |
23 |
10 |
2 |
21 |
9 |
10 |
7 |
11 |
18 |
16 |
21 |
23 |
5 |
22 |
23 |
17 |
19 |
16 |
11 |
19 |
7 |
4 |
3 |
17 |
18 |
20 |
22 |
16 |
12 |
18 |
20 |
15 |
10 |
21 |
5 |
19 |
2 |
15 |
17 |
17 |
13 |
20 |
14 |
22 |
20 |
15 |
22 |
5 |
5 |
2 |
15 |
13 |
14 |
22 |
2 |
1 |
23 |
22 |
18 |
18 |
7 |
15 |
14 |
8 |
13 |
4 |
20 |
20 |
18 |
8 |
4 |
7 |
4 |
23 |
21 |
14 |
22 |
13 |
5 |
7 |
19 |
11 |
20 |
16 |
14 |
14 |
8 |
16 |
23 |
7 |
16 |
16 |
12 |
20 |
7 |
4 |
9 |
23 |
7 |
24 |
5 |
20 |
2 |
14 |
2 |
12 |
6 |
12 |
3 |
17 |
3 |
17 |
2 |
12 |
3 |
8 |
20 |
18 |
13 |
11 |
23 |
14 |
21 |
2 |
16 |
16 |
7 |
5 |
17 |
20 |
9 |
13 |
8 |
1 |
3 |
20 |
10 |
4 |
16 |
24 |
22 |
9 |
20 |
22 |
17 |
9 |
3 |
6 |
8 |
10 |
10 |
6 |
12 |
14 |
8 |
23 |
10 |
15 |
7 |
13 |
16 |
10 |
8 |
4 |
23 |
23 |
4 |
22 |
14 |
4 |
22 |
18 |
3 |
17 |
19 |
2 |
21 |
22 |
7 |
13 |
10 |
8 |
19 |
20 |
24 |
24 |
14 |
5 |
4 |
2 |
15 |
16 |
12 |
7 |
8 |
2 |
6 |
19 |
18 |
3 |
21 |
19 |
1 |
8 |
18 |
15 |
25 |
14 |
24 |
16 |
19 |
12 |
7 |
7 |
8 |
15 |
19 |
1 |
19 |
5 |
8 |
7 |
1 |
17 |
15 |
12 |
11 |
26 |
20 |
7 |
1 |
4 |
11 |
22 |
14 |
1 |
12 |
7 |
3 |
4 |
23 |
10 |
7 |
20 |
2 |
10 |
21 |
21 |
27 |
11 |
22 |
18 |
18 |
4 |
6 |
12 |
4 |
16 |
5 |
5 |
20 |
12 |
11 |
7 |
18 |
13 |
3 |
13 |
3 |
28 |
10 |
4 |
21 |
2 |
14 |
14 |
18 |
22 |
20 |
3 |
20 |
5 |
16 |
4 |
6 |
22 |
6 |
4 |
13 |
7 |
29 |
9 |
4 |
18 |
19 |
10 |
20 |
5 |
8 |
2 |
10 |
12 |
3 |
20 |
3 |
19 |
10 |
22 |
16 |
4 |
15 |
30 |
13 |
22 |
5 |
22 |
21 |
23 |
3 |
2 |
12 |
13 |
12 |
16 |
3 |
1 |
9 |
14 |
9 |
19 |
13 |
5 |
31 |
5 |
22 |
3 |
1 |
12 |
16 |
5 |
21 |
14 |
12 |
23 |
8 |
8 |
2 |
9 |
12 |
21 |
16 |
3 |
14 |
32 |
6 |
8 |
14 |
17 |
16 |
20 |
7 |
1 |
5 |
10 |
13 |
9 |
9 |
9 |
7 |
6 |
5 |
12 |
1 |
18 |
33 |
17 |
10 |
17 |
13 |
15 |
8 |
8 |
3 |
4 |
18 |
7 |
17 |
16 |
24 |
11 |
11 |
16 |
2 |
8 |
14 |
34 |
8 |
8 |
22 |
10 |
17 |
19 |
6 |
4 |
7 |
16 |
16 |
11 |
14 |
8 |
5 |
15 |
11 |
11 |
3 |
3 |
36 |
3 |
21 |
13 |
22 |
3 |
5 |
15 |
18 |
14 |
3 |
11 |
12 |
9 |
6 |
10 |
12 |
23 |
13 |
10 |
2 |
36 |
18 |
23 |
19 |
18 |
13 |
12 |
10 |
23 |
2 |
7 |
5 |
21 |
4 |
21 |
15 |
10 |
12 |
21 |
12 |
17 |
37 |
19 |
19 |
16 |
2 |
5 |
19 |
1 |
14 |
8 |
21 |
21 |
20 |
20 |
12 |
12 |
3 |
18 |
21 |
19 |
3 |
38 |
18 |
24 |
17 |
20 |
5 |
2 |
6 |
23 |
8 |
7 |
5 |
17 |
22 |
22 |
15 |
14 |
5 |
2 |
19 |
3 |
39 |
20 |
20 |
15 |
12 |
10 |
23 |
2 |
19 |
6 |
4 |
21 |
22 |
1 |
8 |
7 |
4 |
13 |
7 |
9 |
24 |
40 |
15 |
9 |
16 |
15 |
15 |
5 |
8 |
5 |
7 |
3 |
6 |
18 |
6 |
16 |
14 |
20 |
14 |
22 |
18 |
21 |
41 |
22 |
22 |
11 |
23 |
5 |
9 |
3 |
23 |
3 |
15 |
3 |
14 |
19 |
20 |
13 |
14 |
6 |
1 |
17 |
8 |
42 |
10 |
17 |
11 |
17 |
18 |
2 |
20 |
8 |
8 |
21 |
16 |
5 |
7 |
22 |
5 |
12 |
22 |
15 |
22 |
23 |
43 |
3 |
7 |
19 |
2 |
11 |
7 |
7 |
4 |
15 |
11 |
19 |
18 |
17 |
2 |
11 |
3 |
9 |
11 |
9 |
23 |
44 |
12 |
6 |
8 |
17 |
8 |
9 |
19 |
21 |
14 |
3 |
21 |
8 |
1 |
7 |
4 |
22 |
16 |
6 |
21 |
21 |
45 |
16 |
20 |
21 |
11 |
4 |
24 |
10 |
21 |
18 |
18 |
6 |
7 |
6 |
14 |
18 |
18 |
7 |
12 |
12 |
16 |
46 |
12 |
16 |
14 |
15 |
20 |
23 |
5 |
14 |
14 |
11 |
20 |
3 |
23 |
22 |
9 |
14 |
17 |
5 |
22 |
6 |
47 |
4 |
23 |
15 |
19 |
3 |
12 |
18 |
6 |
15 |
16 |
22 |
1 |
13 |
7 |
10 |
19 |
12 |
5 |
5 |
21 |
48 |
18 |
19 |
23 |
8 |
14 |
20 |
10 |
16 |
2 |
13 |
18 |
18 |
15 |
20 |
7 |
8 |
14 |
15 |
3 |
11 |
49 |
6 |
13 |
21 |
7 |
10 |
3 |
16 |
9 |
19 |
10 |
21 |
13 |
18 |
18 |
24 |
20 |
9 |
16 |
5 |
13 |
50 |
6 |
11 |
7 |
3 |
14 |
5 |
9 |
24 |
14 |
21 |
8 |
4 |
22 |
23 |
17 |
5 |
16 |
17 |
12 |
4 |