Предельные ошибки при различных способах измерения

	Способ и прибор	Ошибка %
1	Стальная гом-я лента
2	Угломеры оптические
3	Тахометры центробежные
4	Весы торговые и автомобильные Технические Аналоговые
5	Динамометры тяговые пружинные Гидравлические Электрические
6	Ртутные монометры
7	Секундомеры
8	Ртутные термометры
9	Твердомеры ударного действия

Ошибки опытов

Под опытом подразумевается совокупность разовых измерений различных величин в одних и тех же условиях. Способы измерения можно разбить на два вида:

- измерить прямые, когда данную величину измеряют непосредственно

- измерения косвенные, когда искомая величина является функцией измеряемых величин.

Можно по-разному ставить опыт и выбирать способы измерений, так как измерения косвенные зависят от ряда прямых, то при прочих равных условиях, выгодней тот способ, при котором будет меньше прямых измерений, а значит меньше и сумма ошибок. Предельную относительную ошибку опыта определяют на основании следующих правил:

1. Ошибка суммы заложена между наибольшей и наименьшей из относительных ошибок слагаемых, практически берут или наибольшую относительную ошибку или среднюю арифметическую.

2. Ошибка произведения или частного от деления равна сумме относительных ошибок сомножителей или соответственно делимого и частного

3. Ошибка n-ой степени какого-то основания (значения величины) в n раз больше относительной ошибки основания.

Во всех случаях установление точности опыта, точности вычисления результата должна определяться точностью измерений. Если рассматривать ошибку измерения как частное значение переменной величины, предельную относительную ошибку опыта можно вычислить по формуле:

А – является функцией переменных, то есть предельная относительная ошибка а равна дифференциалу её натурального логарифма, причем следует брать сумму абсолютных значений всех членов такого выражения. Данное уравнение дает возможность решить обратную задачу: определить необходимую точность измерений различными способами, если задана общая точность опыта, но проще поступить таким образом: установить требование заранее к метрологическим показателям приборов (цена или интервал деления, пределы измерения, порог чувствительности, измерительное усилие, погрешность и вариация показаний). Вычислить предельную ошибку и по ней подобрать недостающую аппаратуру и заменив приборы дающие слишком большую предельную погрешность. Используя эту формулу можно найти измерения, при которых предельная относительная ошибка функции будет наименьшей. Условием определенного решения является наличие минимума функции. Рассмотрим порядок вычисления предельной ошибки опыта. Установим предельную относительную ошибку вычисления производительности агрегата.

В – ширина агрегата

v - скорость агрегата

Т_р – время работы агрегата

Учитывая подобранную в этом примере аппаратуру и средние данные таблицы, получим предельную ошибку.

Из изложенного можно сделать вывод: для того, чтобы правильно подобрать аппаратуру необходимо провести сравнительную оценку точности различных способов измерения, в данном случае полезно заранее задаться точностью опыта. Точность измерений должна быть целесообразной, указав на три основные обоснования:

1. Заключается в практическом использовании результатов (при технологическом процессе заточки лезвия нельзя добиться его затупленности меньше 10 микрон, тогда не следует измерять износ с точностью до десятых долей микрона).

2. В некоторых случаях нецелесообразно измерять с ошибкой меньше некоторых колебаний значений измеряемой величины.

3. Экономическая сторона. Чем точнее измерительная аппаратура, тем она сложнее и дороже, тем больше затраты не её ремонт и калибровку. Может оказаться, что при таком количестве измерений и той же надежности, что и при большем количестве измерений, прибором дающем несколько большую ошибку, стоимость измерений дорогим прибором будет выше.

При определении величины случайных ошибок, кроме предельной, вычисляют статистическую ошибку многократных измерений, её устанавливают после измерений при помощи методов математической статистики и теории ошибок. Если, например, диаметр вала, вязкость масла измерять по одному разу, случайные ошибки могут исказить результат, поэтому лучше измерять какую-либо практически постоянную величину несколько раз и брать среднюю арифметическую этих измерений. Среднее арифметическое измерение является наиболее вероятным значением измеряемой величины при данном количестве соединений.

В теории ошибок доказывается, чем больше проведено измерений какой-либо величины, тем меньше суммарная ошибка средней и при бесконечном числе измерений, случайная ошибка средней бесконечно мала.

Лекция 5 – 19.10.11

Чем больше значений случайных ошибок и разброс, рассеяние отсчетов, тем больше число раз необходимо измерять одну и ту же величину чтобы достигнуть заданной точности и надежности измерений. Рассеяние результатов измерений указывает на большую или меньшую их изменчивость т оценивается средним квадратом отклонений наблюдаемых значений а_i от их средних h' и квадратным корнем из среднего квадрата.

Среднее арифметическое сумме всех отдельных результатов измерений а_i, a_n деление на количество измерений.

Если все измерения сгруппированы в m классов с разными количествами измерений в каждом классе, то следует вычислять взвешенную среднюю арифметическую:

а₁, а₂, а_m – среднее по классу

Отношение любого отдельного результата измерений от средней арифметической можно представить как разность а_i и .

а_i – результат любого измерения.

Дисперсией случайной величины называется среднее значение величины от её среднего значения.

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением или стандартом.

При разделении всех измерений на n классов с массовыми средними дисперсия будет равна:

Стандарт:

Стандарт имеет значение величины, для которой он вычислен. Дисперсия и стандарт это меры рассеяния или изменчивости. Чем больше дисперсия или стандарт, тем больше рассеяны значения измерений. Таким образом при измерении неизменной величины СКО (стандарт) является мерой точности среднего арифметического значения неоднократно измеренной величины. Если же неоднократно измеримая величина переменна, то вычисленное по её измерениям значение стандарта показывает не только меру точности как случайную ошибку измерений, но и меру изменчивости переменной.

Абсолютное значение стандарта зависит и от совершенства измерительных приборов. Если одну и ту же величину измерять при помощи приборов различной точности абсолютное значение стандарта будет меньше при измерении более точным прибором. Например, если d_отв измерить сначала нутромером со шкалой в мм, а затем индикатором со шкалой в микронах значение стандарта при последних измерениях будет меньше.

Это обстоятельство имеет важное значение при выборе числа опытов.

Для большинства технических измерений можно считать, что наибольшей ошибкой средней арифметической многократных измерений является абсолютная величина равная трем стандартная или относительная величина.

Эта ошибка называется наибольшей возможной статической в отличие от придельной ошибки.

В качестве примера приведем результаты проверки на точность показаний пневматического калибратора, которым измеряли относительную не плотность в одном из цилиндров дизельного двигателя.

Было проведено 20 измерений, при которых двигатель работая на оборотах близким к номинальным, по 2-3мин. И получен ряд значений неплотности.

0,465 0,450 0,425

Отсюда наибольшая возможная статистическая ошибка:

Если предельную ошибку устанавливают до измерений, а наибольшую статистическую вычисляют по результатам неоднократных измерений. Наибольшая статистическая ошибка при измерении неизменной величина будет меньше предельной, так как отклонения отдельных измерений от средней неоднозначны как это принято для предельной ошибки. Иногда из значения измеряемой величины отсчитывают с большей точностью, чем это предположено для предельной ошибки.

Точность разовых измерений оценивают только по предельной ошибке. При неоднократных измерениях до их начала следует пользоваться предельной ошибкой (для прибора аппаратуры и представления о возможностях измерений). А после измерений оценивать их точность по наибольшей возможной статистической ошибке.

Лекция 6 – 21.10.11

Измерения, дающие дисп или одинаковой величины, называют равноточными. Равноточность измерений серий и опытов облегчает обработку результатов измерений и уменьшает суммарные ошибки исследования.

Практически добиться равноточности измерений можно только в тех случаях, когда измерение будет проводить опытный человек одним и тем же прибором в одинаковых условиях.