12.7. Дифференциальные уравнения высших порядков

12.7.1 Основные понятия. Теорема Коши.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

или

Задачей Коши для дифференциального уравнения (19) называется задача отыскания решения , удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Общим решением уравнения (18) или (19) называется такая функция , которая при любых допустимых значениях параметров является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (20) найдутся постоянные , определяемые из системы уравнений:

Уравнение , определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если дифференциальное уравнение (19) таково, что функция в некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные , то для любой точки существует такой интервал , на котором существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (20).

12.7.2. Уравнения, допускающие понижения порядка.

Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную.

Эти уравнения имеют вид: .

Если удаётся это уравнение разделить относительно , то оно записывается так: .

Общее решение имеет вид: (22)

Из этого видно, что для получения общего решения уравнения (21) нужно n-раз проинтегрировать функцию и прибавить к полученному результату многочлен от х степени (n-1), коэффициентами которого являются произвольные постоянные.

Если задача Коши решается для уравнения (21) с начальными условиями, то частное решение уравнения (21) примет вид:

Пример 12. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Интегрируя первый раз, получаем . Повторное интегрирование дает: .

Это и есть общее решение. Подставив теперь в полученное общее решение и в выражение для первой производной и соответственно получим систему двух уравнений с неизвестными и . Решив ее, найдем значения параметров и , соответствующие искомому частному решению, которое, следовательно, имеет вид .

Второй тип: Уравнения, не содержащие искомой функции.

Уравнение порядка n, не содержащее искомой функции, имеет такой вид:

(23)

Порядок его может быть понижен на единицу с помощью подстановки (24), где - новая функция. Эта подстановка приводит к уравнению (25)

Если уравнение (22) не содержит ни искомой функции у, ни ее производных до порядка (k-1) включительно, т.е. имеет вид (26),то его порядок может быть понижен на k единиц при помощи подстановки .

После определения функции уравнение (26) оказывается приведенным к виду уравнения (21). К этому же типу уравнений относятся и такие, которые содержат только две последовательные производные, т.е. уравнения вида . Если это уравнение можно решить относительно , то оно принимает вид и интегрируется подстановкой (27), которая приводит к уравнению . Определив из этого уравнения функцию и подставив ее в (27) придем к уравнению (21).

Пример 13. подстановка

, а это уравнение с разделяющимися переменными.

Проверяем на особые решения (мы делили на и могли потерять)

- особое решение.

Третий тип: Уравнения, не содержащие независимой переменной.

Эти уравнения имеют в общем случае такой вид: (28)

Понижение порядка на единицу достигается подстановкой , где - новая искомая функция. В этом случае за независимую переменную принимается не х, а у. Поэтому вторая и последующие производные должны быть преобразованы так, чтобы независимой переменной была у.

, так как

(29)

Поэтому уравнение (28) перепишется так:

Если удается найти общее решение этого уравнения, то оно будет иметь вид: (30)

Так как , то (30) – уравнение первого порядка, из которого определится искомая функция у.

Частный случай.

Если уравнение (28) имеет вид (31) и его удается разрешить относительно y’’ так, что (32), то интегрирование кроме указанного приема можно провести так: умножим обе части на и приведем уравнение к виду

(33)

Левая часть этого уравнения , а в правой части , поэтому (33) перепишется так:

, отсюда ,

Последнее уравнение допускает разделение переменных, проинтегрировав его, найдем:

, т.е. определим х как функцию от у.

Следует отметить, что этот прием интегрирования уравнения (31) не дает ничего существенно нового по сравнению с указанным общим приемом замены y’’ по формулам (29).

Замечание 8. К уравнению вида (31) приводятся также и уравнения вида , содержащие только две производные, порядки которых отличаются на две единицы. В этом случае применяется подстановка .

Пример 14. Найти общий интеграл уравнения .

Пусть , тогда по формулам (29) , тогда уравнение перепишется так , разделяя переменные, получаем (произвольную постоянную мы ввели под видом с тем, чтобы в последующем извлечь корень из 4)

, так как , последнее уравнение перепишется так: . Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, получаем , , окончательно получаем:

.