- •Тема 1 числові ряди 5
- •Тема 2 функціональні ряди 30
- •Тема 3 ряди фур'є 67
- •Передмова
- •Тема 1 числові ряди
- •1.1 Поняття числового ряду. Збіжні і розбіжні ряди
- •1.2 Найпростіші властивості збіжних рядів
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •1.3 Додатні ряди. Ознаки збіжності
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Доведення
- •Розв’язування
- •1.4 Ряди з довільними членами. Знакозмінні ряди
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Розв’язування
- •1.5 Властивості абсолютно збіжних рядів
- •1.6 Розв’язування задач із використанням ознак збіжності рядів
- •Питання для самоперевірки
- •Завдання для самостійної роботи
- •Тема 2 функціональні ряди
- •2.1 Поняття функціонального ряду і області його збіжності. Поняття рівномірної збіжності функціонального ряду. Властивості рівномірно збіжних рядів
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Властивості рівномірно збіжних рядів
- •2.2 Степеневі ряди. Теорема Абеля
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •2.3 Властивості суми степеневого ряду
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Розв’язування
- •2.4 Формула і ряд Тейлора
- •Доведення
- •Доведення
- •2.5 Розвинення елементарних функцій в ряд Тейлора
- •2.6 Застосування степеневих рядів
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •2.7 Приклади розв’язування типович задач
- •Розв’язування
- •Питання для самоперевірки
- •Завдання для самостійної роботи
- •Тема 3 ряди фур'є
- •3.1 Ортогональна система функцій. Ряд Фур'є
- •Доведення
- •Розвязування
- •Розв’язування
- •3.2 Ряди Фур'є для парних і непарних функцій
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •3.3 Ряд Фур'є для функції з довільним періодом 2l
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •3.4 Ряд Фур'є в комплексній формі
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •3.5 Узагальнений ряд Фур'є
- •3.6 Інтеграл Фур'є
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •3.7 Комплексна форма інтеграла Фур’є
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •3.8 Приклади розв’язування типових задач
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Питання для самоперевірки
- •Завдання для самостійної роботи
- •Література
- •Додаток а
- •Додаток в
- •Порядок виконання завдання
- •21021, М. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95, внту
- •21021, М. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95, внту
Розв’язування
Доцільно порівняти даний ряд із збіжним рядом . Маємо
(бо за правилом Лопіталя ) і за теоремою 1.10 даний ряд також збіжний.
Приклад 1.7 Дослідити на збіжність ряд .
Розв’язування
Порівняємо даний ряд з розбіжним гармонічним рядом . Маємо
,
бо . За теоремою 1.10 даний ряд є розбіжним.
Теорема 1.11 (ознака Д’Аламбера). Якщо для додатного ряду існує скінченна границя
, (1.10)
то при даний ряд збіжний, а при - розбіжний.
Доведення
Нехай . Тоді знайдеться додатне число таке, що . Внаслідок рівності (1.10) для всіх значень , починаючи з деякого, виконуватиметься нерівність , а тому
, (1.11)
тобто члени додатного ряду
(1.12)
не перевищують відповідних членів додатного ряду
(1.13)
Оскільки ряд (1.13) збіжний, як геометрична прогресія із знаменником , то ряд (1.12), а з ним і даний ряд , також збіжний.
Якщо , то внаслідок умови (1.10) для всіх значень , починаючи з деякого, виконуватиметься нерівність або . Звідси випливає, що загальний член ряду не прямує до нуля при , і тому ряд буде розбіжним.
Приклад 1.8 Дослідити на збіжність ряд
Розв’язування
Оскільки
,
то за ознакою Д’Аламбера даний ряд збіжний.
Приклад 1.9 Довести збіжність ряду
Доведення
Маємо
,
Границя цього відношення дорівнює 1/2, тобто за ознакою Д’Аламбера ряд збіжний.
Зазначимо, що ознаку Д’Аламбера не можна застосовувати при .
Наприклад, для кожного з рядів . При цьому перший ряд розбіжний, а другий збіжний, оскільки , а ряд – збіжний (див. приклад 1.1).
Теорема 1.11 (гранична ознака Коші). Якщо для додатного ряду існує границя
, (1.14)
то при даний ряд збіжний, а при - розбіжний.
Доведення
Нехай . Тоді знайдеться число таке, що . Внаслідок рівності (1.14) для всіх , починаючи з деякого, виконуватиметься нерівність , тому
.
Тобто члени ряду не перевищують відповідних членів збіжної геометричної прогресії Отже даний ряд збіжний.
Якщо , то внаслідок рівності (1.14), починаючи з деякого , матимемо або . Звідси випливає, що не прямує до 0 при і, отже, даний ряд розбіжний.
Приклад 1.10 Дослідити на збіжність ряд .
Розв’язування
Оскільки
,
то за ознакою Коші даний ряд збіжний.
Приклад 1.11 Дослідити на збіжність ряд .
Розв’язування
Для даного ряду
,
тому питання про його збіжність ознакою Коші не вирішується. Зрозуміло, що цей ряд розбіжний, бо не виконується необхідна ознака збіжності:
.
Теорема 1.12 (інтегральна ознака Коші-Маклорена). Якщо - невід'ємна і незростаюча функція на проміжку , то ряд
(1.15)
і невласний інтеграл
(1.16)
або обидва збіжні або обидва розбіжні.
Доведення
Оскільки функція f(х) незростаюча, то при матимемо . Функція монотонна та інтегровна на відрізку . Почленне інтегрування цих нерівностей у межах від дає
. (1.l7)
Приймаючи в цих нерівностях і додаючи почленно, дістанемо
.
Якщо - частинна сума ряду (1.15), то останні нерівності можна переписати так
і звідки
, (1.18)
. (1.19)
Зауважимо, що послідовність неспадна. Справді,
бо .
Нехай невласний інтеграл (1.16) збіжний. Це означає, що існує скінченна границя
, причому .
З нерівності (1.18) одержуємо , тобто частинні суми додатного ряду (1.15) обмежені зверху, і тому ряд (1.15) збіжний.
Нехай тепер невласний інтеграл (1.16) розбіжний. Це означає, що при , а тоді з нерівності (1.19) випливає, що й , тобто ряд (1.15) розбіжний.
Зауваження. Теорема залишається справедливою, якщо функція має вказані властивості для . В ній потрібно лише замінити відповідно на .
Приклад 1.13 Довести, що узагальнений гармонічний ряд
збіжний при , і розбіжний при .