2.2.1. Числовые характеристики св
Функции распределения СВ являются самым универсальным способом их описания. Однако, для их определения часто необходимы длительные, объемные и кропотливые исследования и вычисления.
Часто бывает достаточно охарактеризовать СВ с помощью числовых характеристик (параметров законов распределения), которые называются моментами различных порядков.
Моменты без исключения систематической составляющей называются начальными, а с исключением систематической составляющей (центрированные СВ) центральными.
То есть, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называются начальными, а если от центра распределения, то центральными.
СВ называется
центрированной, если математическое
ожидание
(эту величину рассмотрим ниже).
Начальные моменты еще называют характеристиками положения, так как они характеризуют форму кривой функции плотности вероятности (математическое ожидание, мода, медиана и др.), а центральные моменты к характеристикам рассеивания (дисперсия, среднеквадратическое отклонение и др.).
2.2.1.1. Характеристики положения
Как уже упоминалось к этим характеристикам относятся начальные моменты.
Начальным
моментом
-го
порядка (
)
распределения СВ называется действительное
число
- для дискретных
СВ
(2.5)
- для непрерывных
СВ
Начальный
момент 1-го порядка называется средним
арифметическим
(для дискретной СВ) или математическим
ожиданием
(для
непрерывной СВ).
Обычно обозначается
,
.
Будем использовать обозначение
.
Нулевой начальный момент равен единице и не имеет своего отдельного названия. Он используется для задания условий нормирования функции распределения плотности вероятностей (см. выше).
К характеристикам положения относится и понятие центра распределения. Координата центра распределения показывает положение СВ на числовой оси и может быть найдена несколькими способами.
Наиболее
фундаментальным является центр
симметрии,
то есть такая точка
на оси
,
слева и справа от которой вероятности
появления различных значений СВ
одинаковы и равны 0,5.
(2.5)
Точку
называют медианой
или 50% - ной квантилью.
Квантилью
порядка р (р – процентной квантилью)
распределения непрерывной СВ называется
действительное число
,
удовлетворяющее условию
.
(2.6)
Например, на
рис.2.1.б
– это выраженная в процентах площадь
фигуры, ограниченная сверху кривой
снизу
осью абсцисс и справа вертикальной
линией с абсциссой
,
которая и является действительным
числом
или квантилью порядка р.
Величину
можно определить из выражения
(2.7)
В частности, из
определения медианы следует, что
.
Можно определить
центр распределения, как центр тяжести
распределения, то есть такой точки
,
относительно которой опрокидывающий
момент фигуры, огибающей которой
является кривая
,равен
нулю.
(2.8)
Это выражение не что иное, как уже упоминавшийся начальный момент первого порядка или математическое ожидание. Необходимо отметить, что у некоторых распределений, например, распределения Коши, не существует математического ожидания, так как определяющий его интеграл расходится.
При симметричной
кривой
в
качестве центра может использоваться
абсцисса моды.
Модой
непрерывно СВ называется действительное
число
,
определяемое, как абсцисса точки
максимума функции распределения
плотности вероятности
.Таким
образом мода СВ есть ее наиболее
вероятное значение.
Существуют распределения, у которых нет моды, например, равномерное. Распределения с одним максимумом называются одномодальными, с двумя – двухмодальными и т.д. Те из них, у которых в средней части расположен не максимум, а минимум, называются антимодальными.