Определение точки пересечения ребра sс с плоскостью α

Прямая SC (рис. 6) заключается во фронтально проецирующую плоскость γ₃. Результат пересечения двух плоскостей – прямая n: n =   ₃. Пересечение горизонтальной проекции прямой и ребра SC определяет третью вершину многоугольника сечения – точку R: R = n  SC. Видимость фронтальной проекции ребра SC определяется с помощью конкурирующих точек С и 6. Горизонтальные проекции точек показывают, что ребро на участке R–C закрыто плоскостью . Видимость на горизонтальной плоскости проекций определена с помощью точек 10 и S.

Для определения видимости ребра SC нет необходимости использовать конкурирующие точки, так как два других ребра пирамиды показывают, что вся нижняя часть пирамиды (расположенная под плоскостью) будет закрыта.

Определение видимости ребер пирамиды можно выполнить после нахождения всех точек пересечения пирамиды с плоскостью. Определив видимость одного из рёбер относительно плоскости, можно сделать вывод о видимости остальных.

2.2. Способ граней

Решение задачи способом граней сводится к определению линии пересечения двух плоскостей – каждой грани многогранника и заданной плоскости. В результате решения определяются стороны многоугольника сечения.

Способом граней удобно решать задачу нахождения сечения многогранника плоскостью в том случае, если одно (или несколько) ребер многогранника занимают частное положение (например, ребро является профильной прямой). На рис. 7 слева показана пирамида SABC и плоскость , заданная следами. Ребро BS является профильной прямой. На том же рисунке справа показана четырехгранная пирамида, два ребра которой являются профильными прямыми. В подобных случаях целесообразно применить метод граней для определения линий пересечения сторон (граней) пирамиды с заданной плоскостью.

Рассмотрим построение сечения пирамиды плоскостью методом граней на примере трехгранной пирамиды, одно из ребер которой расположено параллельно профильной плоскости проекций (рис. 7).

Для нахождения линии пересечения двух плоскостей общего положения  и  в начертательной геометрии используется следующий алгоритм:

• вводится вспомогательная секущая плоскость  (проецирующая или плоскость уровня);

• определяются линии l₁ и l₂ пересечения вспомогательной секущей плоскости с каждой из заданных: l₁= ; l₂= ;

• на пересечении полученных линий l₁ и l₂ будет находиться точка, принадлежащая линии пересечения двух заданных плоскостей: l₁  l₂ = F;

• так как результат пересечения двух плоскостей прямая, то для её определения данный алгоритм следует повторить ещё раз и найти вторую точку – точку E, принадлежащую линии пересечения двух заданных плоскостей. Искомая линия EF найдена.

На рис. 8 представлена одна грань пирамиды – SAB. Необходимо найти линию пересечения плоскости (SAB) с заданной плоскостью  .

В соответствии с изложенным алгоритмом вводим вспомогательную секущую плоскость ₁.

Плоскость является горизонтальной плоскостью уровня и на фронтальную плоскость проецируется в прямую, совпадающую с фронтальным следом f₀₁. (рис. 9).

Линией пересечения заданной плоскости  с плоскостью уровня ₁ является линия l₁ , фронтальная проекция которой совпадает с фронтальным следом плоскости ₁ , а горизонтальная проходит через точку 1 параллельно горизонтальному следу плоскости  : l₁=₁.

Линией пересечения плоскости (SAB) с плоскостью уровня ₁. является линия l₂ , фронтальная проекция которой совпадает с фронтальным следом плоскости f₀₁ , а горизонтальная проходит через точку 2 параллельно горизонтальной проекции отрезка АВ : l₂=₁ .

На пересечении горизонтальных проекций l₁ и l₂ находится точка F, принадлежащая искомой линии пересечения: F= l₁  l₂. По горизонтальной проекции точки F находим её фронтальную проекцию. На рис. 9 стрелками указана последовательность всех построений.

В качестве второй секущей плоскости взята горизонтальная плоскость уровня ₂, лежащая в горизонтальной плоскости проекций чертежа. Алгоритм решения в данном случае выглядит следующим образом:

• l₃=₂ l₃=h₀ ;

• l₄=(SAB)  ₂ l₄ = AB ;

• E= l₃  l_4.

Линия EF является искомой линией пересечения двух плоскостей  и (SAB). Точки K и P – точки пересечения линии EF с ребрами AS и BS – являются вершинами многоугольника сечения пирамиды плоскостью.

Третью вершину удобно найти методом ребер.

Ребро SC (рис.10) заключается во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость ₃. Линия 3-4 является линией пересечения заданной  и вспомогательной плоскости ₃. На пересечении фронтальной проекции ребра SC и линии 3-4 находится точка R – точка пересечения ребра с заданной плоскостью.

Видимость пирамиды относительно плоскости определяется методом конкурирующих точек. На рис. 9, 10 конкурирующие точки не приводятся.