Программа курса

Тема 1. Предмет математики. Методологические проблемы и принципы

Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках. Геометрия Евклида как первая естественно-научная теория. Значение «Начал» Евклида для общечеловеческой культуры. Основные этапы становления и структура современной математики, принципы математических рассуждений и доказательств. Математическое мышление, индукция и дедукция. Теоремы, аксиомы, определения, аксиоматический метод. Достоинства и недостатки математического языка.

Тема 2. Теория множеств

Понятие «множество», элементы множества. Пустое множество. Подмножество, равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Основные операции над множествами. Множества и отношения. Бинарные отношения. Способы представления отношений и операции над ними. Общие свойства отношений. Отношения эквивалентности, порядка и толерантности. Основные структуры на множестве.

Тема 3. Элементы дискретной математики

Числа. Основные правила и формулы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания. Основы теории графов: типы графов; вершины, ребра, дуги; деревья; сетевые графики,

Тема 4. Элементы математической логики

Основные понятия и функции математической логики. Логические операции и формулы. Исчисление высказываний.

Тема 5. Введение в математический анализ

Понятие «функция». Область изменения и область определения функции; определение, графическое изображение. Способы задания функции. Типы функций. Классификация элементарных функций. Теория пределов и техника их вычисления. Два замечательных предела.

Тема 6. Дифференциальное исчисление

Определение производной. Ее геометрический и физический смысл. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Разрывы. Правила и формулы дифференцирования. Приложения производной. Правило Лопиталя. Возрастание и убывание функций. Максимумы и минимумы функций. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функций на замкнутом интервале.

Тема 7. Интегральное исчисление

Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Методы интегрирования. Таблица основных интегралов. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции. Определенный интеграл: свойства и геометрический смысл. Формула Ньютона — Лейбница. Приложения определенного интеграла.

Тема 8. Дифференциальные уравнения

Понятие «дифференциальное уравнение». Общее и частное решения. Порядок уравнения. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.

Тема 9. Основы теории вероятностей и математической статистики

Случайные события и их алгебра. Различные определения вероятности. Вычисление вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса. Случайные величины. Функции и законы распределения. Основы математической статистики. Статистические гипотезы.

Тема 10. Математическое моделирование и принятие решений

Принципы построения математических моделей. Математические методы в целенаправленной деятельности. Общая постановка задачи о принятии решения. Основные понятия исследования операций, типы задач и методы их решения. Частные случаи: выбор оптимального решения, многокритериальная оптимизация. Методы оптимизации.