7. Построение области устойчивости системы в плоскости параметров

Для выделения области параметров, обеспечивающих устойчивую работу САУ, используют критерий устойчивости.

а) критерий устойчивости Гурвица:

Для выделения области, обеспечивающей устойчивость САУ, запишем все условия устойчивости. Это положительность всех главных миноров до (n-1) при a₀>0. При равенстве нулю минора получаем границу устойчивости.

; ; ; .

Составляем неравенство для коэффициентов и миноров:

;

;

.

;

;

.

;

;

;

.

Рис 3

б) критерий устойчивости Михайлова

По критерию Михайлова если система находится на колебательной границе устойчивости, то годограф проходит через начало координат при ≠0.

Если характеристический вектор замкнутой системы имеет вид

, то уравнение границы устойчивости можно получить, решив систему уравнений:

линия границы устойчивости.

;

;

;

;

;

; .

Рис 4

8. Выбор параметров системы из области устойчивости и вычисление ее статистической погрешности

Устойчивость САУ является необходимым, но не достаточным условием ее работоспособности. Системы, работают в различных режимах и при различных выходных воздействиях. При этом качество системы оценивается по величине ошибки , получаемой в процессе работы, которая должна быть меньше допустимой.

;

Если на вход системы подается типовое воздействие в виде единичной ступенчатой функции, то на выходе получаем статистическую ошибку. Найдем установившуюся ошибку системы по обоим каналам. Для этого воспользуемся теоремой Лапласа по конечным значениям функции.

;

;

;

;

;

По каналу задающего воздействия:

;

;

Ошибка по данному каналу является астатической, т.к. ;

По каналу возмущающего воздействия:

;

;

;

;

Ошибка по данному каналу также является астатической, т.к. ;

9. Построение переходного процесса ошибке от задающего воздействия

;

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия:

;

. (1)

;

Приведем выражение (1) к сумме табличных функций. Для этого представим полином знаменателя в виде:

, где - корни полинома.

;

Получаем выражение: .

;

; ; ;

;

Рис. 5

10. Оценка запаса устойчивости замкнутой системы по модулю и фазе для параметров из области устойчивости

;

;

;

; .

	0,01	0,04	0,2	0,5	1
U()	6.555	2.16	-0,102	-0,2	-0,172
V()	-22.741	-8.408	-1.968	-0,739	-0,296

Рисунок 6

Найдем точку пересечения графиков. Для этого решим систему уравнений:

; ; .

Запас устойчивости системы по модулю:

;

Запас устойчивости системы по фазе:

.

11. Вычисление интегральной оценки качества переходного процесса при

;

;

;

;

.

12. Оценка качества замкнутой системы с использованием корневых методов

Рассмотрим характеристическое уравнение системы:

Корни характеристического уравнения:

Ближайший к мнимой оси корень: .

, где - некоторая числовая характеристика, показывающая во сколько раз уменьшается регулируемая величина за время .

.

Рассмотрим понятие средне-геометрического корня:

.

Величина зависит от свободного члена a_n исходного характеристического уравнения, который определяется коэффициентом передачи К разомкнутой системы: .

13. Заключение

Основной целью курсовой работы являлось исследование системы автоматизированного регулирования, ее основных и важнейших параметров. Большое внимание было уделено устойчивости системы, определение границ, а также запаса устойчивости исследованной САР. Устойчивость является одной из основных динамических характеристик САР. Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться к состоянию установившегося равновесия после устранения возмущения, нарушившего равновесие. В результате несколькими методами было установлено, что исследуемая система устойчива, был найден запас ее устойчивости, выраженный в виде двух параметров:  - запас устойчивости по фазе и h – запас устойчивости по фазе.

Также в данной курсовой работе были рассмотрены два подхода к оценке качества работы системы – интегральный и корневой. Интегральная оценка представляет из себя критерий, учитывающий отклонение регулируемой величины от заданного значения. Соответственно чем меньше эта величина, тем выше качество системы. Среди корневых методов оценки качества наиболее распространенной является оценка быстроты затухания переходного процесса по степени устойчивости, т.е. вычисление времени его затухания, а также метод, предназначенный для синтеза САР на заданное качество переходного процесса. В работе был рассчитан коэффициент передачи К разомкнутой системы, засчет увеличения которого можно добиться повышения быстродействия системы, но следует также учитывать то, что это не должно приводить к нарушению требований по запасу устойчивости.