Математический аппарат физики.

Элементы векторной алгебры

1. Физические величины могут быть скалярными или векторными. Скалярными величинами (скалярами) называются такие, которые характеризуются только числовым значением. Примерами скалярных величин являются время, масса, температура, электрический заряд, потенциал и др. Скалярные величины могут быть положительными и отрицательными и складываются алгебраически.

Пример 1.

Определить полный заряд системы, еслиq₁= 2 нКл, q₂= -7нКл, q₃= 3 нКл.

Решение.

Полный заряд системы q=q₁₊ q₂₊ q₃= (2 - 7 + 3) ∙ 10^-9Кл= - 2 нКл.

Векторными величинами (векторами) называются такие, которые характеризуются числовым значением и направлением. Примерами векторных величин являются скорость, ускорение. Сила. Импульс, напряженность электрического поля. Магнитная индукция и др. Векторные величины складываются геометрически.

Пример 2.

Найти равнодействующую двух сил F₁=3Н и F₂= 4Н, если векторы F₁ и F₂ составляют с осью x углы 10° и 40° соответственно.

Решение.

Вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и . Модуль вектора находим по теореме косинусов:

2. Скалярным произведением векторов и называется скаляр, равный произведению числовых значений векторов и , умноженному на косинус угла между ними:

с=a∙b∙cos α

Пример 3.

Найти работу постоянной силы F=20Н, если перемещение тела 7,5 м. а угол между силой и перемещением 120°.

Решение.

Работа силы, по определению, равна скалярному произведению силы и перемещения:

А=

A=F∙S∙cos α=20 ∙7,5∙cos120°= -75 Дж

3. Векторным произведением векторов и называется вектор, численно равный произведению числовых значений векторов и , умноженному на синус угла между ними:

c=a∙b∙sin α

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , причем его направление связано с направлением векторов и правилом буравчика.

Элементы дифференциального и интегрального исчислений

1. Пусть в некоторой области значений x существует функция f(x). Обозначим

∆x=x₁-x₂, f(x)=f(x₁)-f(x₂). Выражение

называется первой производной функции f(x) по аргументу x. Графически , где α – угол наклона касательной к кривой в точке А к оси абсцисс.

Производные некоторых функций

функция	производная	функция	производная
c=const x^n a^x e^x ln x	0 n∙x^n-1 a^x∙ln a e^x 1/x	sin x cos x tg x ctg x	cos x -sin x 1/cos^2x -1/sin^2x

4. Пусть в некоторой области значений x существует функция f(x). Разобьем интервал ab изменения x на отрезки ∆x₁, ∆x₂, ∆x₃ .. .∆x_n. Составим сумму . Выражение

называется определенным интегралом.

Неопределенные интегралы некоторых функций

функция	интеграл	функция	интеграл
x^n		sin x	-cos x+с
e^x	e^x	cos x	sin x+с
1/x	ln|x|+c	tg x	-ln|cosx|+c
		ctg x	ln|sinx|+c