7. Прогнозирование на основе анализа

1. Обоснование кривых роста, типология

Елисеева, Малючин, Гедранович, Хацкевич

Y(t) – временной ряд – это процесс, поведение которого зависит от времени.

Y_t

Этапы построения моделей:

1. Информационный – это сбор и обработка информации, представление в пригодном для моделирования виде. Это модели экстраполяции, т.е. только для небольшого промежутка времени. Используется,

   1. если абсолютные показатели (пример, ВВП в млн. долл. РБ), то их нужно перевести в условно-абсолютные, т.е. сопоставимые цены базисного года.

   2. если относительные показатели – то темпы роста, прироста.

2. Спецификация – это выбор функциональной формы модели( линейная, нелинейная), модели могут включать запаздывание. Устранить автокорреляцию желательно.

3. Параметризация – это оценка параметров по МНК (если линейна модели), если не линейна , то логарифмируем и делаем замену либо применяет нелинейный МНК.

4. Верификация (оценка качества).

E_t – случайная ошибка

!!Предпосылки МНК (для линейной и нелинейной, 5 и 7, соответственно). Теорема Гаусса-Маркова. Blue-оценки. Смещенность, не смещенность оценок. Коэффициент парной регрессии:

5. Анализ причинно-следственной зависимости. Эластичность. Можно использовать для имитации сценариев, обоснования проводимой политики, прогнозирование.

Модели: Структура ряда динамики

Структура определяется следующими факторами:

1. T(t) – это тренд

2. C(t) – циклическая компонента,

3. S(t) – циклическая сезонная переменная (либо поквартально имеется сезонность, либо помесячная. При годовых данных сезонность отсутствует

4. Ε(t) - случайная ошибка – это все неучтенные факторы цикцичностью и сезованностью, в т.ч. нарушение данных и т.д.

Пункты 1,2,3 – детерменированные переменные, а 4 – случайная.

Циклы: среднесрочные, долгосрочные (40-60 лет). Цикличность может отсутствовать при небольшом промежутке времени.

Модель разложения

Мультипликативная – размах постепенно увеличивается. Аддитивная – размах колебаний постоянный.

Кривые роста. Группы (это у нас второй этап):

1. Полиномы

   1. Линейные модели: y_t=a+bt+e_t – это простейший полином 1ой степени. У этой прямой если взять производную – то скорость постоянная и равна “b”. Аналитическое обоснование для полинома первой степени – постоянство средних абсолютных приростов, т.е. для обоснования полинома первой степени нужно рассчитать абсолютные приросты. Такое поведение характерно для экстенсивного развития “y”.

   2. Нелинейные модели:

      1. y_t=a+b₁t+b₂t²+e_t – полином 2ой степени. Скорость будет изменяться относительно времени. Вторая производная – ускорение. Характеризуется равноускоренным ростом либо снижение, все зависит от того больше или меньше b₂, т.е. ветви параболы вверх или вниз. Изменение абсолютного прироста. Аналитическое обоснование – абсолютные приросты линейно изменяются со временем.

      2. Полином 3ей степени – может быть гипербола. Но такого экономического смысла нет. Поэтому кубическую функцию используют крайне редко, потому что у неё слабое экономическое и аналитическое обоснование.

2. Экспоненты (быстрее растут, чем полиномы)

   1. Простая экспоненциальная кривая (показательная функция): y_t=ab^t.

Аналитическое обоснование: постоянство темпов роста и прироста.

y_t/y_t-1=ab^t/ab^t-1=e

используется для интенсивного развития (низкий старт и ускоренное развитие).

2. Логарифмическая парабола.

Аналитическое обоснование – линейное изменение во времени темпов прироста.

Темпы прироста линейно изменяются:

3. Модифицированные экспоненты: y_t=k+bt

Аналитическое обоснование: логарифмы линейных приростов линейно изменяются

3. Логарифмические кривые – кривая Гомперца:

Аналитическое обоснование: логарифмы темпов прироста линейно изменяются.

Используется при прогнозировании в страховом бизнесе в демографических прогнозах (после увеличения дохода населения в определенный момент, рождаемость увеличится).

1. Этап параметризации – Тренд

Какие могут быть ситуации с трендом: зависит от внешних проявлений, как например, в РБ в 2009 году резко упал экспорт

Фиктивная переменная моделирует изменение уровня тренда:

Сезонность присутствует, если все D (все три) значимы.

У d₁, d₂, d₃ экономическая значимость – сравнение производится с 4ым кварталом.

2. Цикличность

Цикл можно выделить при исследовании 10 и более лет. С помощью рядов Фурье.

Добавляем цикличность в функцию:

Проверяется значимость коэффициента, R², свойства случайной ошибки (МНК), чтобы все оценки были состоятельными иэффективными

3. Этап верификации

Прогнозирование качества

Если рассчитываем на год, то s=4, т.к. прогнозируем на 1 год поквартально.

Если MAPE:

• <10% - можно использовать модель дальше

• 10-20% - удовлетворительно

Больше чем на год по квартальным данным лучше не прогнозировать.

Ошибка аппроксимации – MAAE

s=44, т.к. рассчитываем с 2000 г. по 2010 г. поквартально. Лучше, чтобы был меньше 10%

2. Исследование свойства стационарности

Строго-стационарный ряд (в узком смысле) – это ряд, у которого вероятностное распределение не зависит от t.

Характеристики случайных величин – мат.ожидание, дисперсия, ковариация.

Стационарный ряд (в широком смысле) – это временной ряд, или слабостационарный, если характеристики временного ряда не зависят от времени, т.е.

Вместо ковариации используют коэффициент корреляции:

Автокорреляционная функция – это ACF= (соседняя).

Частная автокорреляционная функция – это PACF= (без учета влияния промежуточных y)

Для подтверждения необходимо применять тесты, про которые будет рассказано далее.

Если смотреть в Gretl, то графи стационарного ряда не будут выходить за пунктирные линии, т.е. аналогично линии: колебания примерно равны и присутствует убывание по экспоненте. У нестационарного – выходит за доверительную границу, убывание по экспоненте. Частная автокорреляционная функция – один выступающий лаг.

Инструмент проверки не стационарности ряда – процесс единичного корня.

M(y_t) = a

D(y_t) = tb²

Процесс простейший первого порядка: AR(1)

Тестирование нестационарности сводится к проверке того, что α=1. Поэтому это и называется тестированием процесса единичного корня (проверка α=1).

Теперь вычтем из обеех частей y_t-1

H₀: a=0

H₁: a<0

t=a/s_a=a/корень(D(a))

если|t_набл|< t_кр => H_o, ряд нестационарныйй, альфа=1

| t_набл|> t_кр => H₁ =>стационарный ряд, а-значим

4. Тест Дики-Фулера (ADF – расширенный тест Дики-Фулера)

H₀: a=0

H₁: a<0

Количество запаздываний приростов (к) определяется по графикам автокорреляционной функции. Автокорреляционную функцию смотреть (ADF) для дельта y_t.

Далее рассчитывается t и сравнивается с критическим, т.к. было в предыдущем случае.

Важно: в бел. программах.

Последние 2 модели необходимо учитывать, т.к. необходимо учитывать тренд и сезонность. В лабораторных уже все очищено от тренда и сезонности. В крайнем случае может быть модель 2 со спецификацией.

Есть 2 класса:

1. TS (I(0) – интергрированные 0-ого порядка, т.е. можно сразу использовать для моджелирования)– тренд-стационарные:

   1. стационарные по всем характеристикам (мат.ожидание, дисперсия и ковариация).

   2. нестационарные по математическому ожиданию, т.е. он стационарный по тренду.

2. DS (I(1) – интегрированность первого порядка, что означает, что нестационарный ряд необходимо свести к стационарному: ):

   1. Нестационарные по всем характеристикам.

   2. Нестационарные по математическому ожиданию, содержащие стохастический тренд, т.к. тренд может быть недетерминирован. К такому тренду нельзя подобрать ни одной стохастическую кривую роста.

   3. Нестационарны по дисперсии

5. Статистика Льюнга-Бокса

α=0,05

P<0,005 => H₁, есть условная гетероскедастичность

P>0,005 => H₀, нет условной гетероскедастичности

Присутствует в финансовых рядах (обменные курсы и т.д.), тогда говорят о волантильности, есть гетероскедастичность, временами дисперсия, то возрастает, то уменьшается периодами.

Для развитых стран – стационарные ряды, для неразвитых – нестационарные.

К TS рядам относят и ARCH модели. А DS – нестационарно по модели.

,

3. Модели ARMA и ARIMA. Адаптивная модель Брауна

ARMA – это модели для стационарных рядов.

ARIMA – это модели для нестационарных рядов. Расшифровывается как модели проинтегрированного. Если I(1), то дельта в первой степени, елси I(2), то дельта берутся в квадрате (см. выше жирным выделена).

Простейший стационарный – «белый шум», математическое ожидание и ковариация равны нулю, дисперсия = сигма квадрат. Тогда мы говорим, что наш ряд распределен нормально: , ARMA (p,q).

Определяем по корреляционным и автокорреляционным функциям p и q

p(AR) по PACF

MA по ACF

Если p и q > 4, то вызывает сомнения.

AR – это . AR стационарна, если корни характеристического уравнения () лежат внутри круга.

|λ_i|<1 i=от 1 до p.

MA – это ( Она обратима, если корни характеристического уравнения лежат внутри единичного круга.

ARIMA:

Последовательность построения ARMA и ARIMA по методологии Бокса-Дженкинса. Этапы:

1. Идентификация – это построение ACF и PCF функций, исследование стационарности (Дики-Фулер, к примеру), определение порядка модели при помощи частных автокорреляционных функций.

2. Параметризация по МНК (в EViews есть встроенные AR(1), MA(1), c=const).

3. Анализ адекватности – верификация моделей: проверяем наличие условной гетероскедастичности (Лагранжа??), автокорреляция (если неправильно определили порядки – изменить порядки), мультиколлениарность. Качественная модель не должна содержать пропущенных переменных и желательно была экономной, т.е. должна иметь наименьший критерий AIC (Акайки) и SC (Шварца) и меньшее MAPE (если ниже 10%, то отличная модель).

6. Адаптивная модель Брауна

Адаптивное сглаживание и вообще модели базируются на схеме скользящего среднего. В простейшем случае схема скользящего среднего (трехчленное сглаживание), то абсолютные значения заменяются средними арифметическими или среднем арифметическим скольжением.

Y’₁

Y’₁=(y₁+y₂+y₃)/3

Y’_k=(y_k-1+y_k+y_k+1)/3

Y’_T

Степени свободы: (T-1-m). При потере наблюдений теряются степени свободы.

Адаптивное сглаживание считает более ценную информацию, которая находится в конце исследуемого периода, ближе к началу прогнозного периода.

0<α<0 (коэффициент дисконтивраония)

β=1-α (бета – коэффиционт сглаживания)

α=2/(m+1)

Чтобы определить параметры, используется:

a(0) и b(0) определяется по МНК по первым значениям кривой роста полинома первого порядка. Объем выборки, предположим, V=12, m=10, альфа=2/(10+1)=2/11

f(t)=-0,0009t+1,15, т.е. получили кривую роста.

Определяем a(0) по первому значению: a(0)=-0,0009. b(0)=1,15, . A(12) и b(12) определяются из выражения с фигурной скобкой. Ответ: