2 Радел Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии и математическое линейное программирование

2.1 Вопросы для самоконтроля к разделу:

1.Матрицы. Операции над матрицами.

2.Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителя. Теорема Лапласа. Свойства определителей.

3. Понятие об обратной матрице. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.

4. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.

5. Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения.

6. Метод обратной матрицы для решения системы п линейных уравнений с п переменными.

7.Формулы Крамера (вывод формул для систем 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными, для систем 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными).

8. Метод Гаусса.

9. Теорема Кронекера – Капели и следствия из нее. Решение системы m линейных уравнений с n переменными.

10. Системы линейных однородных уравнений.

11. Векторы на плоскости и в пространстве. Действия над векторами.

12. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными в координатной форме.

13. Уравнение прямой линии на плоскости.

14. Кривые второго порядка. Вывод канонического уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы.

15. Уравнение плоскости и прямой в пространстве.

16. Общая задача линейного программирования.

17. Решение задач линейного программирования графическим и симплекс-методом.

18. Транспортная задача.

2.2 Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы 1

§ 1 Матрицы и определители

1. Определения и основные понятия

Прямоугольная таблица, содержащая т строк и п столбцов действительных чисел называется матрицей.

А_mn= Сокращенно А_mn= (a_ij),

Числа а_ij, составляющие матрицу, называются ее элементами, где i=1,2,…m номер строки, j=1,2,…n номер столбца.

Матрицы обозначается заглавными буквами латинского алфавита А, В, С…, элементы строчными буквами.

Виды матриц.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной матрицей. Квадратную матрицу размером nn называют матрицей n-ого порядка.

А_22=квадратная матрица 2-ого порядка

а₁₁, а₂₂ элементы главной диагонали

а_12, а₂₁ элементы побочной диагонали

А_33= квадратная матрица 3-его порядка

а₁₁, а₂₂, а₃₃ элементы главной диагонали

а_13, а₂₂, а₃₁ элементы побочной диагонали

Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей.

В=

Диагональная матрица, все элементы по диагонали равны 1, называется единичной матрицей.

Е= единичная матрица 3-его порядка

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор- столбец, или вектор-строка соответственно).

А= В=

Матрица размера 11, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е.(5)_11 есть 5.

Условие равенства матриц.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.

1.2 Действия над матрицами

1.2.1 Сложение.

Матрицы одинакового размера можно складывать.

Суммой двух матриц A_mn=(a_ij) иB_mn=(b_ij)называется матрица C_mn=(c_ij)такая, что c_ij= a_ij+ b_ij (i=1,2..m, j=1,2…n)

А= В=

С=А+В=

Операция сложения обладает следующими свойствами:

-коммутативным (переместительным) А+В=В+А

-ассоциативным (сочетательным) (А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С

-А+0=А

1.2.2 Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A_mn=(a_ij) на число k называется матрица

B_mn=(b_ij ) такая, что b_ij= k a_ij ( i=1,2..m, j=1,2…n )

А=, число k=2, 2А=

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

- 1А=А

- (А+В)=А+В

-(+)А=А+А

-()А=(А)

-1А=-А Матрица (–А) называется матрицей противоположной А.

А+( - А)=0

1.2.3 Вычитание матриц.

Чтобы из матрицы А вычисть матрицу В, достаточно к матрице А прибавит матрицу противоположную В, т. е.А-В = А+(-В).

1.2.4 Умножение матриц.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы A_mn=(a_ij) на матрицу В_np=(b_jk) называется матрица С_mp=(c_ik)такая,что c_ik=a_i1b_1k+a_i2b_2k+…+a_inb_nk, где i=1,2..m, k=1,2,…p, т.е. элемент i-й строки и k-ого столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-ого столбца матрицы В.

Пример. А= В= С=АВ=

с₁₁=35+1(-2)+2(-2)=9

с₁₂=31+13+22=10

с₁₃=30+11+20=1

с₂₁=-15+0(-2)+7(-2)=-19

с₂₂=-11+03+72=13

с₂₃=-10+01+70=0

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведение АВ и ВА всегда существуют.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

- АВВА если данное равенство выполняется, то матрицы А и В называют перестановочными;

-А(ВС)= (АВ)С ассоциативный закон;

- А(В+С)=АВ+АС дистрибутивный закон умножения относительно сложения;

-АЕ=А

-(АВ)= (-А)В.

1.2.5. Возведение матрицы в степень.

Квадратные матрицы можно возводить в степень. Аⁿ=AAA…A

A⁰=E A¹=A

1.2.6 Транспонирование матриц.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается А^Т (А).

Пусть дана матрица А_nm= A^_mn=

Пример 1. Вычислить матрицу:

D=AB^T – 2E + C² если

Решение:

1. Сотавим матрицу В^Т, поменяв строки и столбцы матрицы В местами с сохранением порядка В^Т=

2. Найдем произведение матриц AB^T

3. Найдем произведение 2Е=

4. Найдем матрицу С² = СС

5. Найдем матрицу D=AB^T – 2E + C², подставив найденные матрицы

Ответ: