- •Матрицы и действия над ними.
- •Определители, миноры, алгебраические дополнения.
- •Понятие определителя и его свойства. Вычисление определителя с помощью метода Сарруса.
- •Способы вычисления определителей: разложение по элементам строки или столбца, приведение к треугольному виду.
- •Обратная матрица. Алгоритм нахождения.
- •Система линейных уравнений. Методы их решения.
- •Применение обратной матрицы для решения систем линейных уравнений, матричные уравнения.
- •Понятие вектора, действия над векторами.
- •Действия над векторами в координатах.
- •Разложение вектора в базисе, скалярное произведение и его свойства.
- •Уравнения линий второго порядка.
- •Числовая функция, способы задания, свойства, графики, преобразование графиков.
- •Производная сложной и обратной функции, приложение производной к решению задач.
- •Дифференциал, его геометрический смысл, вычисление дифференциала сложной функции.
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.
- •Определение несобственного интеграла и его вычисление.
- •Дифференциальные уравнения и их решение.
- •Интегрирование по формулам прямоугольников и трапеций.
-
Матрицы и действия над ними.
Ответ:
Матрица – прямоугольная таблица чисел, расположенных в n строках и m столбцах. A = (i,j) где i – номер строки, j – номер столбца.
Размерность матрицы – число строк и число столбцов в данной матрице.
Квадратная матрица – матрица, когда у нее число строк и число столбцов равны.
Главная диагональ – диагональ, идущая из верхнего левого до правого нижнего угла.
Побочная диагональ – диагональ, идущая из верхнего правого до нижнего левого угла.
Матрица, у которой все элементы нули называют нулевой матрицей. А = ( 0 0 )
Диагональная матрица – матрица, у которой элементы расположенные вне главной диагонали нули.
Умножение
матрицы на число подчиняется следующим
законам: -ассоциативный
закон относительно числового
множества -распределительный
(дистрибутивный) закон относительного
множества
– дистрибутивный
закон относительно суммы числовых
множителей
Единичная
матрица –
диагональная матрица, в которой элементы
главной диагонали равны 1.
Действия над матрицами.
-
Умножение матрицы на число.
Любую матрицу можно умножить на число.
Для этого каждый элемент матрицы умножается на число.
-
Сложение матриц.
Свойства
сложения матриц:
– переместительный(коммуникативный)
закон
– сочетательный
(ассоциативный) закон
– где Q-нулевая
матрица соответствующего размера
Любые две матрицы
одних и тех же размеров можно сложить.
Получится матрица в точности тех же
размеров.
Пусть
А = и
В = , то A+B=
-
Умножение матриц.
Свойства
произведения матриц:
-
ассоциативность
– ассоциативность
по умножению
– умножение на
единичную матрицу
Матрицу А можно
умножать на матрицу В, если количество
столбцов А равно количеству строк В.
Пусть , то возможно только если . При этом в результате получится матрица C размерами .
Пусть , то
Так произведение BA существует и равно .
следовательно, умножение матриц некоммутативно, т.е. зависит от порядка сомножителя.
-
Свойства транспонирования:
-
3)
-
4)
-
Транспонирование – это операция над матрицами, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.
Пусть , то транспонированная матрица .
-
Определители, миноры, алгебраические дополнения.
Ответ:
Квадратная матрица A n-го порядка характеризуется неким числом называемым определителем.
Обозначается: detA
Если порядок матрице равен единице, то определитель такой матрицы равен этому элементу: A=(6), то detA=6.
Вычисление определителя 2-ого порядка:
Пусть , то
Минором некоторого элемента определителя - определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Так, минором элемента будет .
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя - минор этого элемента, умноженный на .