Проекция силы на ось

Решение задач на равновесие сходящихся сил с помощью построения замкнутых силовых многоугольников в большинстве случаев сопряжено с громоздкими построениями. Более общим и универсальным методом решения таких задач является переход к определению проекций заданных сил на координатные оси и оперирование с этими проекциями. Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление. Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на нее из начала и конца вектора.  Проекция вектора считается положительной (+), если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси.  Проекция вектора считается отрицательной (—), если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.Рассмотрим ряд случаев проецирования сил на ось: Вектор силы F (рис.12,a) составляет с положительным направлением оси х острый угол а. Чтобы найти проекцию, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось х; получаем: . Проекция вектора в данном случае положительна. Сила F (рис.12,б) составляет с положительным направлением оси х тупой угол а. Тогда, т. е. Fx = — F*cos р. Проекция силы F на ось х в данном случае отрицательна Сила F (рис.12,в) перпендикулярна оси х. Проекция силы F на ось х равна нулю, т.е. Fx — F cos 90° = 0.Итак, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.Силу, расположенную на плоскости хОу (рис.13), можно спроектировать на две координатные оси Ох и Оу. На рисунке изображена сила F и ее проекции Fx, Fу. Ввиду того, что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника АСВ следует: . Этими формулами можно пользоваться для определения модуля и направления силы, когда известны ее проекции на координатные оси. 

Аналитический способ нахождения равнодействующей Геометрический способ нахождения равнодействующей системы сил сопря­жен с определенными трудностями, особенно в случае большого числа сил. Поэтому предпочтительнее аналитический метод нахождения равнодействующей. Пусть система сходящихся сил на плоскости имеет равно­действующую . Обозначим через проекции этой равнодействующей на оси системы координат XOY, а через проекции сил на те же оси. Из математики известно, что проекция суммы век­торов на какую – либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Пара сил

 — система двух сил F₁ и F₂, действующих на твёрдое тело, равных друг другу поабсолютной величине, параллельных и направленных противоположно друг другу. Пара сил не имеет равнодействующей, то есть её действие на тело не может быть механически эквивалентнодействию какой-нибудь одной силы; соответственно пару сил нельзя уравновесить одной силой.Расстояние r₁+r₂ между линиями действия сил пары называется плечом пары сил. Действие, оказываемое парой сил на твёрдое тело, характеризуется её моментом, который изображается вектором T, равным по абсолютной величине  и направленным перпендикулярно кплоскости действия пары сил в ту сторону, откуда поворот, совершаемый парой сил, виден происходящим против хода часовой стрелки (в правой системе координат). Основное свойство пары сил: действие, оказываемое ею на данное твёрдое тело, не изменяется, если пару сил переносить куда угодно в плоскости пары или в плоскости, ей параллельной, а также если изменить абсолютную величину сил пары и длину её плеча, сохраняя неизменным момент пары сил. Таким образом, момент пары сил можно считать приложенным к любой точке тела. Две пары сил с одинаковыми моментами T, приложенные к одному и тому же твёрдому телу, механически эквивалентны одна другой. Любая система пар сил, приложенных к данному твёрдому телу, механически эквивалентна одной паре сил с моментом, равным геометрической сумме векторов-моментов этих пар сил. Если геометрическая сумма векторов-моментов некоторой системы пар сил равна нулю, то эта система пар сил является уравновешенной.

сЛОЖЕНИЕ ПАР СИЛ. УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПАР.

Теорема. Система пар, действующих на тело в одной плоскости, эквивалентна паре сил с моментом, равным алгебраической сумме моментов пар системы. Допустим, на тело действуют три пары (рис. а), моменты которых  известны. Каждую из заданных пар заменим эквивалентной парой соответственно но с одинаковыми плечами  т. e.  и расположим эти пары так, чтобы их силы действовали вдоль двух параллельных прямых (рис. б).Как известно, равнодействующая сил, действующих вдоль одной прямой, направлена по той же прямой и модуль ее равен алгебраической сумме составляющих сил. Поэтому, сложив силы, приложенные к точкам и к точкам , , , получим равнодействующую пару эквивалентную трем заданным парам (рис. в). При этом .Момент равнодействующей парыа так как , то  или . Теорема доказана.Распространяя равенство  на любое число пар, действующих на тело, можем записать .Следовательно, для того чтобы сложить любое число пар, действующих на тело в одной плоскости, достаточно алгебраически сложить моменты этих пар. Полученный в результате сложения момент и определяет равнодействующую пару сил.Если в результате сложения пар , то действующие на тело пары образуют уравновешенную систему. Следовательно, необходимое и достаточное условие равновесия системы пар выражается одним уравнением ,т. е. для равновесия системы пар сил, действующих на тело в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма и

Момент силы относительно точки и оси

Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке.Если известен радиус-вектор r⃗  точки приложения силы F⃗  относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом:Действительно, модуль этого векторного произведения:В соответствии с рисунком |r⃗ |sinα=h, поэтому:Вектор M⃗ O, как и результат векторного произведения, перпендикулярен векторам r⃗  и F⃗ , которые принадлежат плоскости Π. Направление вектора M⃗ O таково, что глядя по направлению этого вектора, кратчайшее вращение от r⃗  к F⃗  происходит по часовой стрелке. Другими словами, вектор M⃗ O достраивает систему векторов (r⃗ ,F⃗ ) до правой тройки.Зная координаты точки приложения силы в системе координат, начало которой совпадает с точкой О, и проекцию силы на эти оси координат, момент силы может быть определен следующим образом:Момент силы относительно осиПроекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку называется моментов силы относительно оси.Момент силы относительно оси вычисляется как момент проекции силы F⃗  на плоскость Π, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Π:Знак момента определяется направлением вращения, которое стремится придать телу сила F⃗ Π. Если, глядя по направлению оси Oz сила вращает тело по часовой стрелке, то момент берется со знаком ``плюс'', иначе - ``минус''.