- •Содержание
- •4.1. Основные понятия 10
- •5.1. Основные понятия 12
- •7.1. Основные понятия 18
- •Глава I. Элементы линейной алгебры
- •§ 1. Матрицы. Виды матриц
- •§ 2. Действия над матрицами
- •Умножение на число. Сложение и вычитание
- •Умножение матриц
- •Возведение в степень. Транспонирование матрицы
- •§3. Определители
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Свойства определителей
- •§4. Обратная матрица
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
- •4.3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
- •§ 5. Системы m линейных уравнений с n переменными
- •5.1. Основные понятия
- •Системы n линейных уравнений с n переменными. Формулы Крамера. Метод обратной матрицы.
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Глава II. Элементы векторной алгебры
- •§ 6. Прямоугольная система координат в пространстве
- •§ 7. Векторы
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Линейные операции над векторами
- •7.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •7.4. Действия над векторами, заданными координатами
- •7.5. Деление отрезка в данном отношении
- •§9. Векторное произведение векторов
- •9.1. Определение и вычисление векторного произведения векторов
- •9.2. Свойства векторного произведения
- •9.3. Приложения векторного произведения
- •§ 10. Смешанное произведение векторов
- •10.1. Определение, свойства и вычисление смешанного произведения векторов
- •10.2. Приложения смешанного произведения
- •Глава III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 11. Системы координат на плоскости
- •11.1. Прямоугольная и полярная системы координат
- •11.2. Связь между прямоугольными и полярными координатами
- •11.3. Преобразование прямоугольных координат
- •§ 12. Прямая на плоскости
- •12.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •12.2. Частные случаи расположения прямой на плоскости. Уравнение в отрезках на осях
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой.
- •Уравнение прямой , проходящей через две точки. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.
- •12.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •12.6. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •§ 13. Линии второго порядка на плоскости
- •13.1. Эллипс
- •13.2. Гипербола
- •13.3. Парабола
- •13.4. Общее уравнение линии второго порядка
- •Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 14. Плоскость
- •14.1. Общее уравнение плоскости
- •14.2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •14.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •14.4. Нормальное уравнение плоскости
- •14.5. Пучок плоскостей
- •14.6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 15. Прямая в пространстве.
- •15.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой
- •15.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •15.3. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
- •§ 16. Прямая и плоскость в пространстве. Условие принадлежности прямой плоскости.
- •§ 17. Поверхности второго порядка
- •17.1. Эллипсоид.
- •Однополостный гиперболоид.
- •Двуполостный гиперболоид.
- •Эллиптический параболоид.
- •Гиперболический параболоид
- •17.6. Конус второго порядка
- •17.7. Цилиндрические поверхности
- •Литература
Глава III. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 11. Системы координат на плоскости
11.1. Прямоугольная и полярная системы координат
1. Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей (ось абсцисс), (ось ординат), пересекающихся в одной точке , называемой началом координат.
Возьмем произвольную точку плоскости и проведем через нее прямые, перпендикулярные осям координат.
Эти прямые пересекают оси координат соответственно в точках: , . Первой координатой точки , ее абсциссой, называется длина отрезка , взятая со знаком плюс, если отрезок направлен в ту же сторону, что и ось , и со знаком минус – если в противоположную. Аналогично, ординатой точки называется длина отрезка , взятая со знаком плюс или минус.
Оси координат разбивают координатную плоскость на четыре части, которые называются четвертями.
Например, в первой четверти .
2. Полярная система координат определяется заданием масштабной единицы измерения длин, точкой , называемой полюсом, и лучом , называемым полярной осью.
Пусть задана полярная система координат и произвольная точка на плоскости. Полярными координатами точки называются числа и .
- расстояние от точки до полюса, называется полярным радиусом.
- угол, на который нужно повернуть полярную ось до совмещения с лучом , называется полярным углом.
Точка с полярными координатами обозначается: .
Пределы изменения полярных координат: , .
Однако в некоторых случаях приходится рассматривать углы больше , а также отрицательные углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.
Пример. Построить точку .
1. Проведем из полюса луч под углом к полярной оси.
2. На этом луче отложим 4 единичных отрезка. Получим точку .
11.2. Связь между прямоугольными и полярными координатами
Совместим прямоугольную и полярную системы координат так, чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось совпала с положительным направлением оси .
Пусть точка имеет прямоугольные координаты и полярные .
Тогда получим
- формулы перехода от прямоугольных координат к полярным. |
||
|
|
|
, , |
- формулы перехода от полярных координат к прямоугольным
|
Пример. Уравнение окружности в прямоугольной системе координат имеет вид . Записать уравнение в полярной системе координат.
Перейдем к полярным координатам , .
Следовательно, - это уравнение данной окружности в полярной системе координат.
11.3. Преобразование прямоугольных координат
Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат. Рассмотрим два вида преобразований.
1. Параллельный перенос осей координат.
Под параллельным переносом понимают такое преобразование координат, при котором меняется положение осей координат, а направление и масштаб остаются неизменными.
Пусть - координаты произвольной точки в системе координат . Перенесем начало координат из точки в точку . Тогда в новой системе координат координаты точки будут:
. |
- формулы, по которым можно найти новые координаты по известным старым и наоборот. |
2. Поворот осей координат.
Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.
Повернем систему координат на угол . Пусть - произвольная точка плоскости. - координаты точки в системе координат ,
- координаты точки в системе координат.
Введем полярные координаты точки :
- координаты точки в системе координат ,
- координаты точки в системе координат .
По формулам перехода от прямоугольных координат к полярным имеем:
|
Но , .
Поэтому |
- формулы, по которым можно найти новые координаты по известным старым. |
Найдем значения и с помощью полученных формул. Для этого решим систему уравнений по формулам Крамера: ,
, |
|
- формулы, по которым можно найти старые координаты по известным новым. |
Пример. Определить координаты точки в новой системе координат , если начало координат перенесли в точку , а затем оси координат повернули на угол .
Определим координаты точки
1) в системе координат : |
|
2) в системе координат : |
|
. Ответ: .