Содержание

Глава I. ФУНЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ

§ 1. Множества 2

§ 2. Понятие функции 4

§ 3. Основные характеристики функции 5

§ 4. Классификация функций 6

4.1. Обратная функция 6

4.2. Сложная функция 7

4.3. Основные элементарные функции и их графики 8

§ 5. Числовые последовательности 10

§ 6. Предел функции 12

6.1. Предел функции в точке 12

6.2. Предел функции при 13

6.3. Теоремы о пределах функций 13

6.4. Два замечательных предела 14

§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции 16

7.1. Бесконечно большие функции и их свойства 16

7.2. Бесконечно малые функции и их свойства 16

7.3. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией 17

7.4. Сравнение бесконечно малых функций .18

§ 8. Вычисление пределов функций 19

§ 9. Непрерывность функции 21

9.1.Односторонние пределы 21

9.2. Понятие непрерывности функции 21

9.3. Классификация точек разрыва функции 22

9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке 24

Глава II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл 25

10.1. Определение производной 25

10.2.Геометрический смысл производной 26

10.3. Физический смысл производной 27

§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных

функций 27

11.1. Правила дифференцирования 27

11.2. Производные элементарных функций 28

11.3. Логарифмическое дифференцирование .30

11.4. Производные высших порядков 31

11.5. Производная неявной функции 32

11.6. Производная функции, заданной параметрически 33

§ 12. Дифференциал функции 33

§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления 33

§ 14. Правило Лопиталя 37

14.1. Теорема Лопиталя 37

14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие 38

§ 15. Исследование функций при помощи производных 39

15.1. Признак монотонности функции. Необходимое условие

экстремума функции 39

15.2. Достаточные условия экстремума 40

15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции 41

15.4. Асимптоты графика функций 42

15.5. Общая схема исследования функции 43

15.6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 45

Литература 46

Глава I. Функция и ее предел

§ 1. Множества

1. Множеством называется совокупность, система, семейство некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество студентов университета, множество корней уравнения, множество натуральных чисел.

Обозначаются множества заглавными буквами латинского алфавита: .

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Элементы множества обозначаются соответственно строчными буквами латинского алфавита:

Например, – элемент принадлежит множеству ; –элемент не принадлежит множеству ;

Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается так:

Элементы множества записываются в фигурных скобках, в которых они перечислены или в скобках может быть указано свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, – множество состоит из трех чисел 1, 8, 6 ; – множество состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Обозначается подмножество так: ( включено в ) или (множество включает в себя множество ).

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными множествами. Если и , то , следовательно, говорят, что множества и равны или совпадают.

Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному их этих множеств. Записывают или .

Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых одновременно принадлежит множеству и множеству. Записывают или .

Разностью множеств и называется совокупность тех элементов , которые не содержатся в . Записывают .

2. Для сокращения записей используются некоторые логические символы:

- следует, т.е. из предложения следует предложение ;

- равносильно, т.е. и ;

- для любого, для всякого;

- существует, найдется;

- имеет место, такое что;

- соответствие.

Например, – для любого элемента из множества имеет место предложение ; объединение множеств и .

3. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Например:

– множество натуральных чисел;

– множество целых неотрицательных чисел;

– множество целых чисел;

– множество рациональных чисел;

– множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение .

Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается дробью.

Например:

– ( конечная десятичная дробь); – (бесконечная периодическая дробь).

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными числами. Это бесконечные непериодические дроби.

Например, , .

4. Пусть и – действительные числа, причем .

Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

– отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

– интервал (открытый промежуток);

	– полуоткрытые интервалы;
		– бесконечные интервалы;

Числа и называются соответственно левым и правым концами промежутков. Символы и не числа, это символическое обозначение неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть точка –любое действительное число (точка на числовой прямой).

Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий точку .

Интервал , где , называется – окрестностью точки , число – центр интервала, число – радиус интервала.

Если , то выполняется неравенство

.

Это означает попадание точки в – окрестность точки .