Предел последовательности.

Если изобразить члены последовательности точками на числовой оси, то можно заметить, что с ростом n члены последовательности x_n становятся ближе к 1 и величина|x_n-1| становится все меньше.

Определение 1 (аналитическое). Число а называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа  можно указать такой номер N, что все члены x_n последовательности, у которых номер n>N, удовлетворяют неравенству: (2)

(отрицание)

Неравенство (2) равносильно двойному неравенству:

-<x_n-a< (если n>N), или а-<x_n<а+ (если n>N) (3)

Определение 2 (геометрическое). Число а называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для каждой окрестности точки а найдется такой номер N, что для всех номеров n>N члены последовательности принадлежат этой окрестности.

,

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. В противном случае – расходящейся.

Примеры. 1)

Докажем, что

Возьмем N=+1, тогда N>.

([а] - целая часть числа а – наибольшее целое число, не превосходящее а. Например:

)

2) Покажем, что .

Докажем, что

Возьмем N=+1, тогда N>.

3) Доказать, что число (-1) не является пределом последовательности x_n=(-1)ⁿ.

Доказательство. Отрицание:

В нашем случае

Т.о. для ₀=

4) Последовательность называется постоянной, если все ее члены одинаковы, т.е. x_n=a n=1,2,3,.. Предел постоянной последовательности =a.

Свойства пределов числовых последовательностей.

Определение. Числовая последовательность {x_n} называется ограниченной, если (т.е. множество значений {x_n} ограничено).

Последовательность ограничена сверху, если

Последовательность ограничена снизу, если

Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности). Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть x_n→a. Покажем , что .

Возьмем =1, тогда

Положим С=max{1+a,x₁,…,x_N} x_n<N ч.т.д.

Предел и алгебраические операции.

Пусть даны две последовательности {x_n}и {у_n}.

{x_n+у_n}: x₁+y₁,x₂+y₂,… - сумма последовательностей {x_n}и {у_n}.

{x_nу_n}: x₁y₁,x₂y₂,… - произведение последовательностей {x_n}и {у_n}.

- отношение, {x_n}- произведение последовательности на число.

Теорема 1. Пусть даны последовательности {x_n}и {у_n} и =а, =b, тогда сумма {x_n+у_n} также является сходящейся и =a+b.

Доказательство. Оценим

Т.к. =а, то ,

Т.к. =b, то

Положим N=max(N₁,N₂): и .

Следовательно, , т.е. =a+b ч.т.д.

Теорема 2. Пусть даны последовательности {x_n}и {у_n} и =а, =b, тогда произведение {x_nу_n} также является сходящейся и =ab.

Доказательство.

Т.к. {x_n} сходящаяся, то она ограничена. Следовательно,

Подберем с таким образом, чтобы

Т.к. =а, то

Т.к. =b, то

Положим N=max(N₁,N₂): и .

Тогда , т.е. =ab ч.т.д.

Следствие из теоремы 2.

- т.е. константу можно выносить за знак предела.

(Доказательство. Следует из свойства 2 при {у_n}=.)

Теорема 3.

Если =b≠0, то - оценка снизу для y_n.

Более того, для указанных n, если b>0, то y_n>, если же b<0, то y_n<.

Таким образом, начиная с некоторого номера y_n сохраняет знак b.

Доказательство.

Т.к. =b, то для

С другой стороны

Получаем , отсюда - доказали 1-ю часть.

С другой стороны, неравенство эквивалентно двум неравенствам:

b-<y_n<b+, n>N

Тогда, если b>0, то = b-<y_n, n>N

Если b<0, то y_n<b+=b-, n>N – доказано 2-е утверждение. Ч.т.д.

Теорема 4. Пусть даны последовательности {x_n}и {у_n}. Пусть =а. Пусть все значения переменной у_n отличны от нуля и =b (b≠0), тогда частное {} также является сходящейся и .

Доказательство. . Покажем, что .

(1).

По предыдущему утверждению, (2)

По (1) и (2)

Т.к. =b, то

Положим N=max(N₁,N₂): . Ч.т.д.

Утверждение (или задача?). Пусть даны последовательности {x_n}и {у_n} и =а, =b, тогда разность {x_n-у_n} также является сходящейся и =a-b.

Доказательство. Оценим . Далее аналогично сумме: Т.к. =а, то

Т.к. =b, то

Положим N=max(N₁,N₂): и .

Следовательно, ч.т.д.