1. Контрольные вопросы

1. Чем отличается позиционная система счисления от непозиционной?

2. Как перевести число из двоичной системы в десятичную?

3. Как переводится целая часть числа из десятичной системы в двоичную?

4. Как переводится дробная часть числа из десятичной системы в двоичную?

5. Почему для перевода конечной дроби из десятичной в двоичную нужно указывать число двоичных разрядов?

6. Как перевести число из двоичной системы в восьмеричную и наоборот?

7. Как перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную и наоборот?

8. Как эффективней перевести число из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот?

9. Почему в вычислительной технике применяют 2,8,16-ричные системы?

10. Почему при переводе чисел из одной системы в другую возникает погрешность?

11. Всегда ли исходное число больше приближенного по модулю?

4. Методические указания к работе

К пп.2-6. Система счисления - это совокупность приемов и правил для записи чисел цифрами.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение (вес) цифры зависит от ее положения в записи числа, в непозиционных не зависит (например, римская система счисления). Число в позиционной системе счисления записывается в виде последовательности цифр:

B_q = b_nb_n-1...b₀,b_-1...b-_m (1)

И может быть представлено в следующем виде:

B_q = b_nqⁿ + b_n-1q^n-1 +...+ b₀q⁰ + b_-1q^-1 +...+ b_-mq^-m = (2)

где – q - основание системы счисления;

Например:

535.17₁₀ = 5*10² + 3*10¹ + 5*10⁰ + 1*10^-1 + 7*10^-2

Для естественных позиционных систем счисления q - положительное целое число. Оно обозначает количество символов (цифр), применяемых для записи чисел в данной системе счисления:

• для десятичной системы q=10 и 10 цифр: 0,1,...9;

• для двоичной q=2 и 2 цифры: 0 и 1.

• для восьмеричной системы q=8 и 8 цифр: 0,1,...7;

• для десятичной системы q=16 и 16 : 0,...9,A,B,C,D,E,F.

В вычислительной технике для представления информации используется двоичная система в силу следующих причин:

• простота технической реализации устройств представления двоичных цифр;

• простота двоичной арифметики;

• возможность описания арифметических операций логическими.

Недостатками двоичной системы счисления являются:

• слишком длинная запись числа;

• необходимость перевода из десятичной системы в двоичную и наоборот.

Для перевода числа в другую систему счисления необходимо определить значения коэффициентов b_i (формула (2)). Обычно переводят отдельно целую и дробную части числа.

Для перевода целой части числа используют следующую схему Горнера:

B_q = b_nqⁿ +b_n-1q^n-1 +..+ b₁q¹ + b₀q⁰ =(..(b_nq+b_n-1)*q+b_n-2)*q+...b₁)*q + b₀ (2)

Например:

12₁₀ = 1*10¹ + 2*10⁰

При переводе в двоичную систему определим значения коэффициентов по схеме Горнера:

_12 2

12 _6 2

0 6 _3 2

0 2 1 2

1 1 0

12₁₀ = b₃*2³ + b₂*2² + b₁*2¹ +b₀*2⁰ =

= (b₃*2² + b₂*2 + b₁)*2 + b₀ =

= ((b₃*2 + b₂)*2 + b₁)*2 + b₀

b₃ = 1; b₂ = 1; b₁ = 0; b₀ = 0. Тогда:

Рисунок 1

1100₂ = 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ b₃ = 12₁₀

Для перевода целого числа из первой системы счисления во вторую необходимо исходное число разделить на основание второй системы счисления, остаток от деления будет младшей цифрой искомого числа. Частное от деления снова делится на основание второй системы счисления для получения следующей цифры искомого числа. Деление продолжается до тех пор, пока частное от деления не станет меньше основания второй системы счисления (рисунок 1).

Для перевода дробной части числа используют следующую схему Горнера:

B_q = b_-1q^-1 + b_-2q^-2 +..+ b_-mq^-m = q^-1(b_-1 + q^-1(b-₂ +...+ b_-m q^-1)) (3)

Н

0 625

^, 2

1 250

2

0 500

2

1 000

апример:

0,625₁₀ = 6*10^-1 + 2*10^-2 + 5*10^-3

Определим значения коэффициентов по схеме Горнера:

0,625₁₀ = b_-1*2^-1 + b_-2*2^-2 +b_-3*2^-3 = 2^-1(b_-1 +b_-2*2^-1 + b_-3*2^-3) =

= 2^-1(b_-1 + 2^-1(b_-2 + b_-3 *2^-1)) = 0,625₁₀

b_-1 = 1; b_-2 = 0; b_-3 = 1. Тогда:

0,101₂ = 1*2^-1 + 0*2^-2 +1*2^-3 = 0,625₁₀

Рисунок 2

Для перевода правильной дроби из одной системы счисления

в другую необходимо умножить ее на основание целевой системы счисления; целая часть результата умножения при этом является первой цифрой искомого числа. Чтобы найти вторую цифру, дробная часть результата

умножения снова умножается на основание системы счисления. Целая часть полученного результата является новой цифрой искомого числа. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.(рис.2)

К пп. 7-8. Для более короткой записи чисел вместо двоичной обычно применяют системы счисления, имеющие основание 2^к : восьмеричная (к=3) или шестнадцатеричная системы счисления (к=4).

Перевод из них в десятичную систему и наоборот делается по общему правилу. Достоинство этих систем состоит в том, что перевод из них в двоичную заменяется записью (без вычислений) каждой цифры числа соответствующим ей двоичным числом. При переводе из двоичной системы двоичное число (группа двоичных цифр) заменяется соответствующей цифрой восьмеричной или шестнадцатеричной системы. При замене следует помнить о том, что для записи восьмеричной цифры требуется три (к=3), а для шестнадцатеричной - четыре двоичных цифры (к=4).

Для перевода из одной системы счисления в другую удобно воспользоваться таблицей 2.

Таблица 2

Л

D	B	Q	H
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

итеры D, B, Q и H означают числа, представленные соответственно в десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системе счисления. Например:

1540₁₀ = 604₁₆ = 0110 0000 0100₂ = 3004₈

_1540 16

144 96 16

_100 96 6 16

96 0 6 0

4

487₁₀ = 747₈ = 111 100 111₂ = 1E7₁₆

_487 8

480 _60 8

7 56 7 8

4 7 0

К п.9. Лабораторные работы выполняются на персональных копьютерах (рабочих станциях), включенных в локальную сеть кафедры АиТ. Для учебных занятий на сервере выделена студенческая папка, в которой располагаются папки с именем студенческой группы. В этих папках хранится информация по соответствующим дисциплинам и личные папки студентов. Пакет программ "Inf" состоит из файлов Inf1 – Inf8.

Для запуска требуемой программы необходимо выделить мышью программу Inf1 , запустить ее двойным щелчком левой кнопки или клавишей клавиатуры "Enter". Дальнейшие действия ясны из меню, и надписей в открывшемся окне программы. Из окна программы можно вызвать инструкцию к лабораторной работе. Некоторые расхождения в результатах по сравнению с ручными расчетами быть из-за разной точности переводов.

К п. 10. Полученные результаты не следует округлять, различие в исходных числах и полученных как раз и свидетельствует о погрешности перевода. Оценить ее для каждой системы счисления следует по формуле: |А_исх - А_расч |

| А_исх |

Погрешность обычно представляют в показательной форме, причем для ее записи достаточно всего одной – двух цифр мантиссы, или даже порядканапример:

3*10^-6 или 3,6*10^-6 или 10^-6

Выводы по работе не должны содержать сведения о том, что было выполнено, т.к. это отражено в программе работы, а те особенности умений и навыков, которые были приобретены в ходе выполнения работы. Например, в выводах по работе №1 можно в качестве выводов привести достоинства двоичной системы счисления.

Литература: [1,c. 61-88].

• Лабораторная работа №2

1. Выполнение арифметических и логических операций над двоичными числами

Цель работы: Приобретение навыков выполнения арифметических и логических операций над двоичными числами.

1. Подготовка к работе

1.Изучить по конспекту лекций и приведенной ниже литературе особенности выполнения арифметических и логических операций над числами, представленными в двоичной системе счисления.

2.Подготовить тетрадь для выполнения лабораторной работы.

1. Программа работы

1. Выбрать из таблицы 3 число в соответствии с номером варианта. Числа в таблице заданы в десятичной системе счисления.

Таблица 3

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число 1	72	66	89	79	77	82	74	101	92	85
Число 2	23	15	19	21	33	45	27	41	34	26
Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Число 1	72	66	89	79	77	82	74	101	92	85
Число 2	23	15	19	21	33	45	27	41	34	26
Вариант	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Число 1	23	15	19	21	33	45	27	41	34	26
Число 2	72	66	89	79	77	82	74	101	92	85
Вариант	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
Число 1	72	66	89	79	77	82	74	101	92	85
Число 2	23	15	19	21	33	45	27	41	34	26
Вариант	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
Число 1	72	66	89	79	77	82	74	101	92	85
Число 2	23	15	19	21	33	45	27	41	34	26

2. Представить заданные числа в двоичной системе счисления в форме целого числа без знака с 7 разрядами.

3. Выполнить арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления над заданными числами в двоичной системе счисления. Сравнить полученные результаты операций для двоичной и десятичной систем счисления.

4. Выполнить логические операции сложения, умножения, сложения по модулю 2 и отрицания поразрядно над заданными числами в двоичной системе счисления.

5. Запустить программу Inf2 для проверки результатов, полученных в пп.3-4. В случае несовпадения результатов повторить выполнение пп.3-4.