2 Введение
В ходе учебной практики необходимо выполнить ряд заданий по математическому анализу, используя математическое программное обеспечение “Sage”.
“Sage” — это бесплатное и свободно распространяемое математическое программное обеспечение с открытыми исходными кодами для исследовательской работы и обучения в самых различных областях включая алгебру, геометрию, теорию чисел, криптографию, численные вычисления и другие. Существенная часть “Sage” написана на языке программирования “Python”.
Программы, составленные для решения задачи, по итогу своей работы должны предоставить ответ в виде конкретного числа или графика. Задачи в практике могут иметь несколько решений. Для решения задач используются знания, приобретённые в ходе курса изучения математического анализа, а также знания, полученные в результате самостоятельного изучения программного обеспечения “Sage”.
Команды для написания кода к программам были изучены из «Практики по получению первичных профессиональных умений и навыков» Кручинина Д. В. [1] и некоторые функции, не описанные в данном учебнике, были взяты из «Методы вычислений: учебное пособие» В.Н. Кирноса [2].
3 Ход работы
3.1 Нахождение предела числовой последовательности.
Задание
№1. Найти предел числовой последовательности
.
Решение представлено на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1 – Решение задания 1
3.2 Нахождение предела функции.
Задание №2. Найти пределы функций:
а)
; b)
; c)
;
d)
; e)
.
Решение представлено на рисунках 3.2 - 3.6.
Рисунок 3.2 – Решение задания 2(а)
Рисунок 3.3 – Решение задания 2(b)
Рисунок 3.4 – Решение задания 2(c)
Рисунок 3.5 – Решение задания 2(d)
Рисунок 3.6 – Решение задания 2(e)
3.3 Вычисление предела с помощью правила Лопиталя.
Задание №3. Используя правило Лопиталя вычислить пределы:
a)
b)
.
Решение представлено на рисунках 3.7 и 3.8.
Рисунок 3.7 – Решение задания 3(a)
Рисунок 3.8 – Решение задания 3(b)
3.4 Нахождение производных функций.
Задание №4. Найти производные следующих функций:
a)
b)
c)
d)
Решение представлено на рисунке 3.9 - 3.12.
Рисунок 3.9 – Решение задания 4(a)
Рисунок 3.10 – Решение задания 4(b)
Рисунок 3.11 – Решение задания 4(c)
Рисунок 3.12 – Решение задания 4(d)
3.5 Вычисление производной второго порядка.
Задание
№5. Вычислить производную второго
порядка функции:
.
Решение представлено на рисунке 3.13.
Рисунок 3.13 – Решение задания 5
3.6 Построение графика, исследование функции на непрерывность, классификация точек разрыва.
Задание №6. Построить график и исследовать функцию на непрерывность, классифицировать точки разрыва:
а)
b)
.
Решение представлено на рисунках 3.14 и 3.15.
Рисунок 3.14 – Решение задания 6 (a)
Рисунок 3.15 – Решение задания 6 (b)
3.7 Построение графика функции и проведение полного исследования графика.
Задание
№7. Построить график функции
и провести полное исследование графика.
Решение представлено на рисунке 3.16.
Рисунок 3.16 – Решение задания 7
3.8 Нахождение частой производной функции.
Задание
№8. Найти частные производные функции
,
где
,
.
Решение представлено на рисунках 3.17 и 3.18.
Рисунок 3.17 – Решение задания 8(по u)
Рисунок 3.18 – Решение задания 8(по v)
3.9 Нахождение производной функции, заданной неявно.
Задание
№9. Найти частные производные функции
заданной неявно
.
Решение представлено на рисунке 3.19.
Рисунок 3.19 – Решение задания 9
3.10 Нахождение первого дифференциала функции.
Задание
№10. Найти первый дифференциал функции
.
Решение представлено на рисунке 3.20.
Рисунок 3.20 – Решение задания 10
3.11 Нахождение частной производной указанного порядка функции.
Задание
№11. Найти частную производную указанного
порядка
функции
.
Решение представлено на рисунке 3.21.
Рисунок 3.21 – Решение задания 11
3.12 Нахождение экстремума функции.
Задание
№12. Найти экстремумы функции
.
Решение представлено на рисунке 3.22.
Рисунок 3.22 – Решение задания 12
3.13 Вычисление интегралов.
Задание №13. Вычислить интегралы:
a)
; b)
;
c)
; d)
;
Решение представлено на рисунках 3.23 - 3.26.
Рисунок 3.23 – Решение задания 13(a)
Рисунок 3.24 – Решение задания 13(b)
Рисунок 3.25 – Решение задания 13(c)
Рисунок 3.26 – Решение задания 13(d)
3.14 Вычисление несобственных интегралов.
Задание №14. Вычислить несобственные интегралы:
1)
; 2)
.
Решение представлено на рисунках 3.27-3.28.
Рисунок 3.27 – Решение задания 14(1)
Рисунок 3.28 – Решение задания 14(2)
3.15 Решение дифференциальных уравнений.
Задание №15. Решить дифференциальные уравнения:
Решение представлено на рисунках 3.29 - 3.33.
Рисунок 3.29 – Решение задания 15(1)
Рисунок 3.30 – Решение задания 15(2)
Рисунок 3.31 – Решение задания 15(3)
Рисунок 3.32 – Решение задания 15(4)
Рисунок 3.33 – Решение задания 15(5)
3.16 Вычисление площади фигур, ограниченных линиями.
Задание №16. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
1)
2)
.
Решение представлено на рисунке 3.36 и рисунке 3.37.
При вычислении площади в задании 16(1) используется формула на рисунке 3.34, в задании 16(2) – на рисунке 3.35.
Рисунок 3.34 – Формула площади
Рисунок 3.35 – Формула площади
Рисунок 3.36 – Решение задания 16(1)
По графику на рисунке 3.37 определяем, что, предел интегрирования от 0 до pi/8.
Рисунок 2.37 – Решение задания 16(2)