-
Незалежні повторні випробування
Схема повернених куль.
Нехай у кожному з випробувань подія настання події відбувається із сталою імовірністю , тобто імовірність її настання не залежить від того, що відбувалось у попередніх випробуваннях, і настання чи не настання її не впливає на подальше. Такий процес називається НПВ. Позначимо імовірність події , тобто імовірність не появи через .
Def. 3.1 Кількість випробувань, в яких сталася подія називається
частотою події. При НРВ її позначають . (Зауваження)
За Def. 1.15 відносна частота або частість:
Знайдемо числові характеристики ДВВ .
Розглянемо набір ДВВ , кожна з яких приймає два значення: 1, якщо у -тому випробуванні подія сталася і 0, якщо не сталася.
Закон розподілу:
-
1
0
Зрозуміло, що
Оскільки всі ці ДВВ мають однакові закони розподілу, то їх числові характеристики однакові.
Обчислимо , . Отже .
Тоді: (3.1)
(3.2)
(3.3)
Якщо ДВВ, то частість також, причому стала. Знайдемо
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Теорема 3.1 Формула Бернуллі.
Нехай при проведенні випробувань в кожному з них подія може статися з імовірністю . Тоді імовірність того, що подія станеться рівно разів дорівнює:
(3.7)
де - число сполук, імовірність події , тобто не настання події .
Доведення:
Розглянемо приклад =3. Випишемо ПГЕП:
…
У загальному випадку. Простір елементарних подій складається добутків подій . Вони утворюють ПГЕП. Їх кількість ? Нас цікавлять випадки, коли сталася разів, тобто такі добутки, які містять множників , відповідно множників буде . Імовірність кожної такої елементарної події буде дорівнювати добутку імовірностей,? отже дорівнює . Ці події попарно несумісні, отже імовірність суми дорівнює сумі імовірностей. Таких елементарних подій буде ?.Отримаємо формулу.
Приклад. =3,
-
0
1
2
3
Графік.
Закон розподілу частоти:
0 |
1 |
... |
... |
|||
... |
... |
Цей закон називається біноміальним.
Числові характеристики цього закону розподілу знайдені раніше.
Назва походить з того, що праві частини формули Бернуллі можна розглядати як загальний член розкладу бінома Ньютона:
.
Звідси, враховуючи, що , отримаємо:
(3.8)
головна вимога до закону розподілу ДВВ.
Def. 3.2 Модою закону розподілу називається частота, якій відповідає найбільша імовірність. Позначається .
Уномодальний (бімодальний) розподіли. Полігон розподілу має один (два) максимум.
Неважко довести, що біноміальний розподіл є уномодальним. Дійсно, оцінимо співвідношення сусідніх ймовірностей:
Остаточно, маємо: . Таки чином, при наступна ймовірність більша, ймовірність зростає, а при - спадає і моду можна знайти із умови виконання таких нерівностей
(3.8)
Дослідимо першу з них:
Остаточно маємо:
(3.9)
Нерівності нестрогі, отже якщо ціле число, а , то і - ціле на одиницю більше. Таким чином два сусідніх числа визначають моду.
Два типи задач. 1) Імовірність події , кількість випробувань . Знайти моду. , .
2) Мода , яка кількість випробувань?
Теорема 3.2 Локальна теорема Лапласа
Якщо імовірність настання події у кожному з незалежних випробувань є сталою і дорівнює , а кількість випробувань, достатньо велика, то імовірність настання події рівно разів приблизно дорівнює:
(3.10)
де , - функція Гауса. ЇЇ графік – крива Гауса.
(Без доведення)
Властивості та графік.
1. . 2. Невід’ємна. 3. Парна. 4. Має похідні першого та другого порядку. 5. Має один екстремум, максимум, у точці , . 6. Дві точки перегину при . 7. та дуже швидко. 8. Табульована.
Продовження прикладу: Знайти імовірність моди.
очне значення: , за формулою Лапласа:
, , . Остаточно, , похибка: 1,1%.
Теорема 3.3 Теорема Пуассона
Якщо імовірність настання події , , у кожному випробувані прямує до нуля при необмеженому зростанні кількості випробувань, , і при цьому добуток прямує до сталого числа , то границя імовірності того, що подія станеться разів дорівнює:
(3.11)
(Без доведення)
Формула Пуассона. Якщо імовірність події маленька , кількість випробувань достатньо велика та величина не перевищує 10, то імовірність настання події разів приблизно дорівнює:
(3.12)
Приклад.
У партії 5000 виробів. Під час транспортування, з імовірністю 0,0002 можливе пошкодження. Знайти імовірність того, що 3 вироби виявляться пошкодженими.
За (3.12): достатньо велике, - маленьке, добуток не перевищує 10. Тому .
При досліджені процесів, в яких виконуються умови теореми Пуассона та кількість випробувань є необмеженою, частоту можна вважати ДВВ з нескінченним ліченим спектром. Закон розподілу цієї ДВВ має вигляд:
-
…
...
…
...
Він законом Пуассона або законом рідких подій.