5. Деякі закони розподілу нвв
5.1. Нормальний закон розподілу
Def. 5.1 ВВ називається розподіленою за нормальним законом, якщо її диференціальна функція розподілу має вигляд:
(5.1)
Це функція Гаусса, властивості якої ми розглядали ранише.
Встановимо зміст параметрів цієї функції. Для цього обчислимо її числові характеристики.
Вплив параметрів на поведінку кривої Гаусса (колокол).
Нормована функція Гаусса: :
(5.2)
Знайдемо ІФР:
(5.3)
де - функція Лапласа.
Імовірність влучення у інтервал:
(5.4)
або
(5.5)
Імовірність відхилення від математичного сподівання:
(5.6)
Правило 3-х :
(5.7)
Якщо виконується умова (5.7), то можна вважати, що закон розподілу ВВ близький до нормального.
Приклади. 1. Нормально розподілена ВВ, . Обчислити . .
За правилом: .
2. Проводяться заміри діаметру деталі. Помилка вимірювання вважається ВВ розподіленою за нормальним законом. Систематична помилка відсутня. Дисперсія помилки . Деталь вважається бракованою, якщо відхилення від стандарту перевищує 15 мм. Знайти виготовлення не бракованої деталі.
.
5.2. Рівномірний закон розподілу.
Def. 5.2 ВВ називається розподіленою за рівномірним законом на проміжку , якщо її диференціальна функція розподілу має вигляд:
(5.8)
тобто, щільність імовірності на спектрі є сталою.
Знайдемо значення сталої з умови:…..
(5.9)
Знайдемо математичне сподівання та дисперсію.
(5.10)
,.
Приклади.
5.3 Показниковий закон.
Def. 5.3 ВВ називається розподіленою за показниковим законом, якщо її диференціальна функція розподілу має вигляд:
(5.11)
Закон визначається одним параметром (нормальний та рівномірний – двома).
Інтегральна функція розподілу:
(5.12)
Імовірність влучення у інтервал при :
Приклад. - ВВ розподілена за за показниковим законом, . Записати закони, обчислити . Оскільки то .
.
Звернути увагу на випадок, коли .
5.4. Розподілення, побудовані на основі нормального розподілу.
Степінь «свободи».
Розподіл :
(5.13)
Розподіл Фішера:
(5.14)
Розподіл Стьюдента:
(5.15)
6. Центральна гранична теорема
Теорема 6.1. Ляпунова
Якщо ВВ є сумою достатньо великої кількості взаємно незалежних ВВ, вплив кожної з яких на суму малий, то ВВ має розподіл, близький до нормального. (без доведення).
Теорема 6.2. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.
При достатньо великій кількості незалежних повторних випробувань імовірність того, що частота події лежить у межах від до приблизно дорівнює:
(6.1)
де - кількість випробувань, - імовірність настання події у кожному випробуванні, імовірність протилежної події. Достатньо велика кількість: .
Приклад: У партії 500 виробів з яких 150 першого ґатунку, а решта - другого. Обчислити імовірність того, що у партії кількість виробів першого ґатунку від 140 до 170.