- •Введение
- •Основные макроэкономические понятия §1. Макро- и микротеория. Агрегирование
- •§2. Факторы производства
- •§3. Износ. Амортизация и инвестиции
- •§4. Измерение объёма национального производства и национального дохода
- •§5. Сбережения и норма процента. Дисконтирование
- •§6. Ценные бумаги
- •Облигации
- •§7. Денежная масса, номинальная и реальная заработная плата
- •§8. Международная торговля и системы валютных курсов
- •§ 9. Производственная функция
- •§10. Список основных макроэкономических элементов
- •Классическая теория §1. Макроэкономические теории
- •§2. Рынок труда
- •Предложение труда
- •Спрос на труд
- •Равновесие на рынке труда
- •§3. Рынок капитала (сбережений и инвестиций)
- •Предложение капитала
- •Спрос на капитал
- •Равновесие на рынке капитала
- •§4.Денежный рынок
- •§5 Краткий обзор классической теории
- •§6 Сравнительная статика
- •§7 Критика классической теории
- •Теория Кейнса
- •§1 Склонность к потреблению
- •§2 Спекулятивный спрос на деньги
- •§3 Рынок труда
- •§4 Рынок капитала (сбережений и инвестиций)
- •§5 Денежный рынок
- •§6 Краткая формулировка модели и определение равновесия
- •§7 Существование и единственность равновесия в модели Кейнса
- •§8 Инфляция и безработица
- •§9 Сравнительная статика. Изменение предложения денег.
- •§10 Сравнительная статика. Изменение производственной функции.
- •§11 Сравнительная статика. Изменение номинальной зарплаты
- •Экономический рост §1 Однопродуктовая макроэкономическая модель
- •§2 Независимость производственного процесса от масштаба
- •§3 Модель Солоу
- •§4 Сбалансированный рост
- •§5 Асимптотическое поведение траектории в модели Солоу
- •§6 Оптимальная норма накопления
- •§ 7 Была ли необходима перестройка экономики в ссср?
- •Элементы теории потребительского поведения §1. Отношение предпочтения и функция полезности
- •§2. Неоклассическая задача потребления
- •Теория фирм
- •§1 Задача максимизации прибыли фирмы в условиях совершенной конкуренции
- •§2 Несовершенная конкуренция. Монополия и монопсония
- •§3 Конкуренция среди немногих. Олигополия, олигопсония
§5 Асимптотическое поведение траектории в модели Солоу
Режим сбалансированного роста – это, вообще говоря, одна из возможных траекторий развития экономических систем. Если данная модель используется для описания реальной экономики, то любая конкретная траектория будет определяться как решение дифференциального уравнения (16) с начальным условием- значением фондовооружённости в начальный момент времени и необязательно является траекторией сбалансированного роста (как правило, не является). Вместе с тем, как будет показано в дальнейшем, траектории сбалансированного роста играют важную роль среди множества траекторий рассматриваемой модели, а именно: любая траектория с постоянной нормой накопления по прошествии достаточно большого времени неограниченно приближается к траектории сбалансированного роста. Следовательно, режим сбалансированного роста может быть использован для расчётов экономических показателей при достаточно больших значениях времени, независимо от начальных значений этих показателей.
С математической точки зрения описанное свойство траектории модели выглядит следующим образом.
Пусть - фиксированное постоянное значение нормы накопления, – фондовооружённость на соответствующей этой норме траектории сбалансированного роста, – решение дифференциального уравнения (16) с начальным условием . Тогда независимо от значения справедливо соотношение
(22)
Докажем это. Предположим сначала, что . В предыдущем параграфе мы выяснили, что правая часть уравнения (16) (функция (21)) принимает в области положительные значения. Поэтому функция будет монотонно возрастать, пока её значения принадлежат этой области. Легко видеть, что не покинет область ни при каком . Действительно, допустив противное, будем иметь . Это означает, что через проходит по меньшей мере два решения уравнения (16). Между тем, в силу свойств функции правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы о существовании и единственности решений ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравнений). Из сказанного можно сделать вывод, что - монотонно возрастающая ограниченная функция. Тогда по теореме Вейерштрасса существует предел , который мы обозначим через . Покажем, что . В силу (16)
В то же время непосредственно из существования такого предела следует, что он равен нулю. В этом можно в частности убедиться, используя формулу конечных приращений. Таким образом, , то есть наряду с является корнем уравнения (20). Но как было установлено в предыдущем параграфе, это уравнение имеет в области единственное решение. Следовательно, , то есть выполняется соотношение (22).
Аналогично доказывается, что если,то является монотонно убывающей функцией и имеет место соотношение (22).
Наконец, если , то , и соотношение (22) опять-таки справедливо.
Поведение траектории уравнения (16) при фиксированном постоянном , изображены на ДВА.
Из полученных результатов также следует, что постоянное решение уравнения (16) является устойчивым по Ляпунову, а значит, и асимптотически устойчивым. Отметим, что доказано более сильное свойство, чем асимптотическая устойчивость, так как последнее означает сходимость к тех траекторий, начальные значения которых достаточно близки к (глобальная асимптотическая устойчивость).
В заключение рассмотрим случай, когда производственная функция является функцией Кобба-Дугласа (см. параграф 1.9). В этом случае. Тогда (16) будет иметь вид (23)
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что общее решение этого уравнения представимо в виде (24)
Легко видеть, что , где - отвечающее сбалансированному росту значение фондовооружённости, являющееся корнем конечного уравнения .
Этот результат, естественно, совпадает с полученным выше результатом для произвольной линейной однородной производственной функции.