Тема. Компактність у метричних просторах. Критерій компактності в різних метричних просторах.
1. Компактність.
Означення: Множина в метричному просторі називається компактною, якщо з будь-якої нескінченої підмножини можна виділити послідовність , що збігається до деякої границі .
Означення: Множина , що лежить в деякому метричному просторі , називається передкомпактною, чи відносно компактною, якщо його замикання в компактно.
Означення: Множина називається обмеженою, якщо вона міститься в деякій кулі.
Твердження: Будь-яка компактна множина є замкненою.
Доведення. У метричному просторі будь-яка підпослідовність збіжної послідовності збігається до тієї же границі, отже границя послідовності також належить множині , тобто множина замкнена.
Теорема: Будь-яка відносно компактна множина , що лежить в деякому метричному просторі , є обмеженою.
Доведення. Припустимо, що множина є відносно компактною, але не обмеженою, і нехай це довільна точка з . Тому що не обмежена, то існує точка ,яка лежить поза кулею . Покладемо . Тому що не обмежена, то . Покладемо і далі. Отримаємо послідовність , що , якщо , яка не містить жодної збіжної підпослідовності, що суперечить відносної компактності множини .
Означення: Простір називається компактним ( компактом ), якщо будь-яка нескінчена підмножина простору містить послідовність, що збігається до деякого елементу з .
Можна довести, що компакт є повним метричним простором.
Приклади компактних і не компактних множин.
-
Нехай з метрикою, яка задана в просторі , тоді за теоремою Больцано-Веєйрштраса буде компактним.
-
Простір не компактний , тому що в ньому множина не містить жодної збіжної підпослідовності.
-
Простір не компактний, аналогічно , але будь-яка замкнена обмежена множина є компактною за теоремою Больцано-Веейрштрасса .
-
В просторі всякий відрізок буде компактний, тому що простір скінчено вимірний, а даний відрізок є замкненою і обмеженою множиною (За теоремою Больцано-Веейрштрасса в скінчено вимірному просторі будь-яка замкнена обмежена множина є компактною).
-
Простір не компактний , більше того, в ньому існують обмежені замкнені, але не компактні, множини.
-
Простір не компактний , в ньому існують обмежені замкнені, але не компактні, множини. Такою множиною є одинична куля . Дійсно, розглянемо таку послідовність точок з : , , ... ,маємо при . Тому послідовність та всяка її підпослідовність не збігається, що і доводить не компактність кулі .
-
Прикладом компактної множини у просторі є основний паралелепіпед координатного гільбертова простору, який представляє з себе сукупність точок , координати яких задовольняють умові . Компактність цієї множини слідує з загальної ознаки компактності у просторі , ( ).
В метричному просторі компактність тісно пов'язана з повною обмеженістю.
2. Повна обмеженість.
Нехай деяка множина у метричному просторі , - деяке додатне число.
Означення: Множина з називається - сіткою для множини , коли для будь-якої точки знайдеться хоч би одна точка ,така що , тобто
.
Приклад, ціле чисельні точки утворюють на площині -сітку.
Означення: Множина називається цілком обмеженою (повністю обмеженою), якщо для будь-якого існує скінчена - сітка.( скінчена - сітка).
Твердження: Цілком обмежена множина є обмеженою.
Доведення. Як сума скінченого числа обмежених множин.
Обернене в загальному випадку не вірне.
Зауваження. Якщо множина цілком обмежена,то її замикання також цілком обмежене.
Твердження: Якщо метричний простір повністю обмежений, то він сепарабельний.
Доведення. Дійсно, побудуємо для кожного в скінчену - сітку. Сума їх по всім представляє з себе злічену всюди щільну множину в .
Приклади.
1. В - вимірному метричному евклідовому просторі повна обмеженість співпадає з звичайною обмеженістю, тобто можливістю помістити дану множину у велику кулю або куб.
Дійсно, якщо зробити розбиття кубу на маленькі кубики з ребром , то вершини цих кубиків будуть утворювати скінчену - сітку в початковому кубі, отже і в будь-якій множині, що знаходиться в цьому кубі.
2. Одинична сфера у просторі є прикладом обмеженої, але не цілком обмеженої множини. Дійсно, розглянемо точки
,
,
,
... .
Тоді при . Отже, в не може бути скінченої - сітки для жодного .
3. Розглянемо в просторі множину точок ,,, ... , , ... . Цю множину називають основним паралелепіпедом або " гільбертовою цеглою " простору . Це приклад нескінченно вимірної цілком обмеженої множини.
Доведення. Нехай задане . Оберемо , таке що
,
тоді кожної точці
(1)
з поставимо у відповідність точку
(2)
з тієї ж множини.
Тоді
.
Множина точок виду (2) з цілком обмежена, як обмежена множина в - вимірному просторі. Оберемо в скінчену - сітку. Зрозуміло, що вона буде також - сіткою в .