- •§1. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. Формулировка правила Лопиталя.
- •Раскрытие неопределенностей или .
- •§2. Возрастание и убывание функции.
- •§3. Экстремумы функции.
- •§4. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •§5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •§6. Асимптоты плоской кривой.
- •§7. Полное исследование функции и построение графика.
Тихонова В.Ф.
Практикум по высшей математике.
Приложения производной функции одной переменной. Графики.
2004
Оглавление
§1. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. §2. Возрастание и убывание функции. §3. Экстремумы функции. §4. Наибольшее и наименьшее значения функции. §5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. §6. Асимптоты плоской кривой. §7. Полное исследование функции и построение графика. Список учебной литературы |
4 стр. 5 стр. 14 стр. 18 стр. 24 стр. 31 стр. 35 стр. 39 стр. 51 стр. |
§1. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. Формулировка правила Лопиталя.
Пусть в некоторой окрестности точки х = а функции f(x) и дифференцируемы (кроме, может быть самой точки х = а) и .
Если или , так что предел содержит неопределенность или ,
и существует предел отношения производных этих функций (конечный или бесконечный),
то существует и предел отношения самих функций, причем выполняется равенство
. (1)
Это правило остается справедливым, если х
Правило может применятся несколько раз (если соблюдаются условия, при которых оно справедливо).
Применение правила Лопиталя можно комбинировать с другими приемами вычисления пределов.
Раскрытие неопределенностей или .
Вычислить следующие пределы, применяя правило Лопиталя.
Пример 1.
Решение.
Здесь
Поэтому данный предел содержит неопределенность .
Так как функции f(x) и дифференцируемы в окрестности точки х = –1, то попробуем вычислить предел отношения их производных:
===.
Получилось, что предел отношения производных существует и равен числу . На основании правила Лопиталя заключаем, что предел отношения функций также существует и равен числу .
Ответ: .
Пример 2.
.
Решение.
Пояснение к символу “”:
после того, как обнаружена неопределенность в пределе отношения производных, пробуем вычислить предел отношения вторых производных и эту попытку обозначаем символом “”. В результате получилась такая цепочка записей:
.
В конце концов предел отношения третьих производных вычислился и равен числу . Теперь в соответствии с правилом Лопиталя заключаем, что все пределы отношений предыдущих производных и самих функций существует и равен . Поэтому получается обратная цепочка записей
Таким образом, правило Лопиталя применено три раза, в результат получено значение искомого предела и этот факт отражается в записях с использованием символа “”.
При этом важно понимать, что если бы получилось так, что предел отношения оказался несуществующим, то это бы не означало, что не существуют и предыдущие пределы (то есть переходы “” в этом случае делать нельзя). Это только лишь означало бы, что данный предел не может быть вычислен по правилу Лопиталя.
Ответ: .
Пример 3.
.
Решение.
= = .
Ответ: 2.
Пример 4.
.
Решение.
= = =
Здесь работа по правилу Лопиталя значительно упростилась применением теоремы о пределе произведения, с помощью которой была отделена функция , не участвующая в создании неопределенности.
Ответ: .
Пример 5.
.
Решение.
Ответ:
Пример 6.
.
Решение.
– не существует.
Это значит, что не выполняется одно из условий правила Лопиталя – условие существования предела отношения производных двух функций. Поэтому предел отношения этих двух функций не может быть вычислен по правилу Лопиталя, хотя может существовать и быть вычислен иными приемами.
Действительно,
Таким образом, работая с пределом по правилу Лопиталя, нельзя быть уверенным в его успешном вычислении до тех пор, пока не получится значение (конечное или бесконечное) предела отношения производных некоторого порядка. Только в этом случае становятся справедливыми все равенства в цепочке
Раскрытие неопределенностей ([0], [ – ], [1], [0], 00]).
В случае неопределенности вида [0] или [ – ], следует функцию, стоящую под пределом, преобразовать алгебраически так, чтобы привести её к неопределенности вида или и далее воспользоваться правилом Лопиталя. В частности, используется преобразование произведение к дроби: .
Неопределенности типов [1], [0], 00] раскрываются с помощью предварительного логарифмирования функции, стоящей под пределом.
Пример 7.
.
Решение.
[0].
Ответ: –1.
Пример 8.
.
Решение.
[]
Ответ:
Пример 9.
.
Решение.
[] =
Ответ:
Пример 10.
.
Решение.
Данный предел содержит неопределенность [1]. Обозначим . Тогда
Вычислим =
Итак, получено, что .
Здесь знаки предела и логарифма были переставлены в соответствии со свойством пределов непрерывных функций:
если непрерывная функция в точке х = а.
Ответ: .
Пример 11.
.
Решение.
Данный предел содержит неопределенность [0]. Обозначим тогда
Вычислим [0]=
=
Так как то
Ответ:
Пример 12.
=[00]
Решение.
= .
Получено
Здесь показана наиболее короткая запись вычислений, поясненных в предыдущих примерах.
Ответ: =1.
Дополнительные упражнения.
1. |
2. ; |
3. |
4. ; |
5. |
6. ; |
7. |
8. ; |
9. |
10. ; |
11. |
12. ; |
13. ; |
14. ; |
15. ; |
16. ; |
17. ; |
18. ; |
19. ; |
20. ; |
21. . |
|
Ответы.
1. ; 2. ; 3. ; 4. 2; 5. ; 6. 0;
7. ; 8. 1; 9. ; 10. –2; 11. 1; 12. 0;
13. 0; 14. ; 15. ; 16. 0; 17. 0; 18. ;
19. 1; 20. ; 21. 1.