- •1.Понятие вектора. Коллинеарность векторов. Их равенство.
- •2.Операции над векторами. Их свойства.
- •3.Координаты вектора. Разложение векторов по базису.
- •4.Операции над векторами в координатах.
- •5. Уравнения прямой линии на плоскости.
- •6. Расстояние от точки до прямой.
- •7.Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •8. Уравнения плоскости в пространстве.
- •9. Уравнения прямой в пространстве.
- •10.Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •11.Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы и окружности.
- •12. Определители. Их свойства.
- •13. Матрицы. Операции над матрицами. Их свойства.
- •14. Ранг матрицы. Способы его нахождения.
- •15. Решение линейных систем уравнений методом Крамера, Гаусса, матричным методом.
- •16. Метод Леонтьева многоотраслевой экономики.
- •17. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
- •18.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •19.Пределы. Теоремы пределов.
- •20. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
18.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Важнейшей числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель, который для матрицы An,n обозначается следующим образом:
Размерность матрицы, для которой ищется определитель, задает его порядок.
Если квадратная матрица имеет определитель, отличный от нуля (Δ ≠ 0), то говорят, что матрица невырожденная, в противном случае - матрица вырожденная или особая.
Оказывается, что определитель равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения.
Алгебраическое дополнение элемента aij задается выражением
Т. е., минор Mij элемента aij берется со своим знаком, если сумма его индексов четна, и с обратным, если сумма нечетна.
Минором элемента определителя aij n-го порядка называется определитель порядка (n-1), полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, в которых находится этот элемент (i-ой строки и j-го столбца).
Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .
Это симметрическое преобразование можно записать в виде:
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a12x1 + a22x2
где у1 и у2 – координаты вектора в базисе .
Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде
Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.
Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .
Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.
Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:
.
При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и . Тогда:
Тогда .
Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.
Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
Ф(х1, х2) = 27.
Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.
Составим характеристическое уравнение: ;
(27 - l)(3 - l) – 25 = 0
l2 - 30l + 56 = 0
l1 = 2; l2 = 28;
Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:
17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.
Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А =
Составим характеристическое уравнение:
(17 - l)(8 - l) - 36 = 0
136 - 8l - 17l + l2 – 36 = 0
l2 - 25l + 100 = 0
l1 = 5, l2 = 20.
Итого: - каноническое уравнение эллипса.