19.Пределы. Теоремы пределов.
Функция 
имеет
предел 
в
точке 
, предельной для
области определения функции 
,
если для каждой окрестности
предела 
существует
проколотая окрестность точки 
,
образ которой при отображении 
является
подмножеством заданной окрестности
точки 
.
Свойства пределов числовых функций
Пусть даны
функции 
и 
.
Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.
Доказательство
Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,
где 
—
проколотая окрестность точки a.
В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.
Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
Предел суммы равен сумме пределов:
Предел разности равен разности пределов:
Предел произведения равен произведению пределов:
Предел частного равен частному пределов.
Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству
|xn - a| < e. (6.1)
Записывают это
следующим образом: 
или
xn→ a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a- e < xn < a + e, (6.2)
которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.
Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
|
Второй замечательный предел |
Следствия
При
решении примеров полезно иметь в виду
следующие равенства:
20. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.
Бесконечно малая
Последовательность an называется
бесконечно малой, если : 
.
Например, последовательность чисел 
—
бесконечно малая.
Функция называется
бесконечно малой в окрестности точки x0,
если 
.
Теоремы о бесконечно малых:
Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если an —
бесконечно малая последовательность,
то 
— бесконечно
большая последовательность.
Бесконечно большая величина
Последовательность an называется
бесконечно большой, если : 
.
Функция называется
бесконечно большой в окресности точки x0,
если 
.
Сравнение бесконечно малых величин
Как сравнивать
бесконечно малые величины(Неопределённости 
)?
Допустим, у нас есть бесконечно малые
величины α(x) и β(x) при 
.
Если 
,
то бесконечно малая величина β будет
более высокого порядка, чем α.
Если 
,
то бесконечно малая величина будет
более низкого порядка, чем
Если 
(предел
конечен и не равен 0), то бесконечно малые
величины являются одного порядка.
Если 
,
то бесконечно малые величины называются
эквивалентными, и пишется 
.
Примеры
При 
,
т. к. 
,
т. е. при 
и 
являются бесконечно
малыми величинами одного порядка (хоть
и не эквивалентны, т.к. 
).