- •28 Июня 2005 г.Протокол №11
- •§ 1. Ряды и преобразования фурье
- •§2. Операционное исчисление
- •§ 3. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка
- •§ 4. Простейший вариант метода разделения переменных
- •Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна смешанной задаче
- •Решите следующие смешанные задачи
- •§ 5.Решение смешанной задачи с неоднородностями в уравнении или в граничных условиях
- •§ 6. Метод разделения переменных для параболических уравнений
- •Р е ш е н и е. Здесь нужно решать смешанную задачу
- •§ 7. Цилиндрические функции
- •И решение смешанных задач
- •Для уравнений гиперболического
- •И параболического типов
- •Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы
- •§ 8. Метод разделения для уравнений эллиптического типа
- •1, R cos, r sin , …, rn cosn, rnsin n, … .
ЗАДАЧИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
И ИХ РЕШЕНИЕ
Пособие для студентов физического факультета
специальности 1-31 04 01 «Физика»
МИНСК
2006
А в т о р ы – с о с т а в и т е л и :
В. Н. Русак, Н. К. Филиппова
Рекомендовано
Ученым советом физического факультета
28 Июня 2005 г.Протокол №11
Р е ц е н з е н т ы :
доктор физико-математических наук, профессор В.Т. Ерофеенко;
доктор физико-математических наук, профессор А. А. Пекарский.
Задачи по математической физике и их решения: пособие для студентов физ. спец. 1=310401 «Физика»/ авт.=сост. В.Н. Русак, Н.К. Филиппова. -Мн.: БГУ, 2006 г.-93 с.
Для студентов 1-2 курсов физического факультета и факультета радиофизики и электроники БГУ.
Предисловие
Преподавание математических дисциплин на физических факультетах Белорусского государственного университета складывалось на основе опубликованного В.И. Смирновым пятитомного «Курса высшей матема- тики» и серии учебных пособий , отражающих опыт преподава- ния в московских вузах. Что касается непосредственно математической физики, то на русском языке также имеется ряд учебных пособий и сбор- ников задач .
В 1998 г. В.Н. Русак издал краткий курс математической физики рассчитанный на 90 лекционных часов. При написании настоящего посо- бия авторы, в доходчивой форме изложили круг основных идей и мето-
дов применяемых при решении задач математической физики в рамках действующей программы. В нем по каждой теме приведены необходимые теоретические сведения, подробно разобраны решения типовых упражне- ний и предложены примеры для самостоятельной работы. Основной ак -цент делается на метод разделения переменных и применение цилиндри -ческих функций.
Пособие адресовано студентам физикоматематических специаль- ностей которые изучают дифференциальные уравнения в частных произ- водных и их приложения.
§ 1. Ряды и преобразования фурье
Если f(x) 2l– периодическая кусочно-гладкая функция на R, то она раскладывается в ряд Фурье
(1)
(2)
Бывает так, что функция f(x) задана и является кусочно-гладкой на отрезке -l, lи ее также можно разложить в ряд Фурье вида (1-2), и сумма этого ряда будет 2l – периодическим продолжением функции f(x). Добавим к сказанному, что в формулах (2) в силу 2l –периодичности можно вести интегрирование по любому отрезку длиной 2l.
Если f(x) четная 2l – периодическая кусочно-гладкая функция, то коэффициенты bk=0, и соответственно
(3)
(4)
Если f(x) нечетная 2l – периодическая кусочно-гладкая функция, то коэффициенты ak=0, и соответственно
(5)
(6)
Если f(x) кусочно-гладкая функция на отрезке 0, l, то ее можно разложить в ряд Фурье (3), (4), так и в ряд Фурье (5), (6), осуществляя соответствующее продолжение функции f(x).
Если f(x) непрерывная 2l – периодическая функция и существует кусочно-непрерывная производная f(x), то ряд Фурье функции f(x) сходится к ней равномерно.
Для всякой кусочно-непрерывной на -l, l функции выполняется ра- венство Ляпунова-Стеклова
(7)
Если f(x) кусочно-непрерывная функция на отрезке -l, l, то ее ряд Фурье можно интегрировать почленно.
Предполагаем теперь, что f(x) определена на R, абсолютно интегриру- ема и является кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке. Тогда спра- ведлива интегральная формула Фурье
(8)
Разумеется, что в точках непрерывности правая часть соотношения (8) может быть заменена на f(x).
Интегральная формула Фурье равносильна выполнению двух пре- образований: прямого преобразования Фурье
(9)
и обратного преобразования Фурье
(10)
где х точка непрерывности и интеграл в (10) понимается в смысле главно- го значения по Коши.
1. Разложить в ряд Фурье функцию
Р е ш е н и е. Учитывая четность f(x), применяем формулу (4) и получим при k1
Если же k=0, то
Cледовательно, на интервале выполнено равенство
2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) =arсsin(sin x), xR.
Р е ш е н и е. Поскольку:
то f(x) нечетная функция на R, а период функции равен 2. В качестве основного отрезка можно брать отрезок -, и применять формулу (6). Предварительно нужно учесть, что
Если же то sin x=sin (-x) и тогда
f(x)=arcsin (sin(-x))=-x.
Следовательно для коэффициентов Фурье будем иметь по формулам (6)
Следовательно для всех xR имеет разложение в ряд
3. Проверьте, что при 0<x< выполнено равенство
Р е ш е н и е. Продолжим функцию
нечетным образом на (-,0) и разложим в ряд Фурье (5),(6). Будем иметь
Итак, мы проверили, что и тем самым устано- вили нужное равенство.
4. Разложите в ряд Фурье функцию
Р е ш е н и е. Поскольку f(x) определена на R, нечетная, имеет период 2 и является гладкой, то она разлагается в ряд (5),(6), однако коэффици- енты будем находить не по формулам (6). Воспользуемся известным сте- пенным рядом
Левую часть равенства в числителе и знаменателе домножим на , тогда будем иметь
и если в этом соотношении отделить слева и справа мнимые части, то получим
5. Найдите преобразование Фурье для функции
Р е ш е н и е. Пользуясь формулой (9) и леммой Жордана будем иметь при >0
Если же <0, то интеграл считается через вычет в точке ai и получим
Объединяя обе формулы, найдем
Разложите в ряды Фурье в указанных интервалах:
6. f(x)=x в интервале (-l, l).
7. f(x)= signx в интервале (-l, l).
8. f(x)=cos4x, x(-,).
9. f(x)=|x|, x(-l, l).
10. f(x)=l2-x2 в интервале (-l, l) .
11. f(x)=x2 в интервале (-,).
13. f(x)= |sinx|, x(-,).
14. f(x)= |cosx|, x(-,).
15. f(x)=sign(cosx) , x(-,).
16. f(x)=arcsin(cosx) , x(-,).
17. f(x)=x-x, x(-,).
18. Функцию f(x)=x2 разложить в ряд Фурье
а) по косинусам
б) по синусам
в) в интервале (0,2l).
Используя эти разложения, найти суммы числовых рядов
19. Отправляясь от разложения
,
найти интегрированием разложения в ряд Фурье на интервале функций х2, х3, х4.
20. Напишите равенство Ляпунова для функции
21. Вычислить с помощью равенства Ляпунова интеграл
Найдите разложения в ряды Фурье с помощью степенных рядов для следующих 2-периодических функций:
Докажите равенства:
27.
28. Как нужно продолжить функцию f(x) с интервала на интервале (-,), чтобы выполнялось равенство
29. Как нужно продолжить функцию f(x) с интервала на интервал
(-,), чтобы выполнялась равенство
Найдите преобразования Фурье от следующих функций:
36.
37.
38. Найдите четное и нечетное преобразование Фурье для функции продолжая ее четным или нечетным способом.