3. Наведіть приклади простих і складних точкових операцій симетрії та назвіть їх елементи.

Площина симетрії (m), Вісь симетрії (n).

Рисунок 1.1 - Прості (а-в) та складні (г, д) точкові операції симетрії: а - поворот навколо осі (на прикладі осі 3-го порядку); б - відбивання в площині; в – інверсія; г - відбивання з поворотом; д - інверсія з поворотом

Центр симетрії (), Інверсійна вісь симетрії (), Дзеркально-поворотна вісь симетрії (n/m)

6. Чим відрізняється примітивна елементарна комірка від елементарної комірки?

Багатогранник, трансляціями якого можна без пропусків і перекривань повністю заповнити всю безкінечну решітку, називається елементарною коміркою.

Елементарна комірка мінімально можливого об’єму називається примітивною елементарною коміркою. Вона може мати чи не мати всі елементи симетрії решітки

8. Дайте визначення решітки Браве.

Решіткою Браве називається система точок з радіусами-векторами

, (1.1)

де , і - основні вектори трансляцій; m₁, m₂ та m₃ – цілі числа.

9. Яку решітку називають оберненою і як вона пов’язана з прямою решіткою?

Якщо пряма решітка (Решітка Браве) описується законом

,

де , і - основні вектори трансляцій; m₁, m₂ та m₃ – цілі числа,

то обернена решітка - це система точок

,

де n₁, n₂ та n₃ – цілі числа; , , - основні вектори оберненої решітки.

10. Сформулюйте правило побудови зон Бриллюена.

Зони Бриллюена будуються так: будь-який вузол оберненої решітки (взятий за початковий) з’єднують відрізками з іншими вузлами, а потім через середини цих відрізків проводять перпендикулярні площини. Багатогранники, обмежені цими площинами, утворюють зони Бриллюена. Об’єми всіх зон однакові.

13. Обчисліть період решітки кристала ОЦК-W (густина – 19,3∙10³кг/м³, молярна маса - 183,85∙10^-3кг/моль).

18. Перелічіть типи зв’язків у твердих тілах і коротко охарактеризуйте їх.

Іонний зв'язок. Іонний зв'язок виникає між атомами, які стоять ліворуч стосовно інертних газів (VII група - F, Cl, Br, J, At) та елементами I групи (Li, Na, K, Rb, Cs, Fr) у періодичній системі елементів. Іони розташовуються так, що сили кулонівського притягання між іонами протилежного знака більші, ніж сили відштовхування між іонами одного знака. Таким чином, іонний зв'язок обумовлений в основному, електростатичною взаємодією протилежно заряджених іонів.

Ковалентний зв'язок. Ковалентний зв'язок утворюється у результаті виникнення стану з підвищеною густиною електронної хмари, яка заповнює між’ядерний простір. Ковалентний зв'язок тим сильніший, чим більше перекриття електронних хмар атомів, що взаємодіють.

Металевий зв'язок. Металевий зв'язок у загальному випадку має таку саму природу, як і ковалентний зв'язок.

Він утворюється тоді, коли атоми зближуються і орбіти валентних електронів перекриваються між собою.Усі валентні електрони приблизно рівномірно розподіляються у просторі між атомами, утворюючи електронний газ. Однак у випадку ковалентного зв’язку спільними стають електрони лише двох сусідніх атомів, у той час як у випадку металевого зв’язку узагальнюються електрони усіх атомів, які вже не локалізуються біля своїх атомів, а вільно переміщаються у кристалічній решітці металу.

Молекулярний зв'язок. Молекулярний зв'язок виникає між будь-якими атомами або молекулами у результаті дії сил взаємодії Ван-дер-Ваальса, природа яких зводиться до взаємодії між молекулярними диполями.

20. У чому полягає суть поліморфізму? Наведіть приклади цього явища.

Здатність однієї й тієї самої речовини кристалізуватися в різних кристалічних структурах (наприклад алмаз, графіт, олово), називається поліморфізмом.

21. Визначте коефіцієнти щільності пакування ОЦК- і ГЦК-структур?

Коефіцієнт щільності пакування визначається як відношення об’єму атомів, що входять до елементарної комірки, до об’єму цієї комірки.

25. Наведіть приклади простих і складних точкових дефектів.

Рисунок 1.23 - Схематичне зображення вакансії (а), домішкового атома (б) і міжвузлового атома (в)

Рисунок 1.24 - Дефекти за Френкелем (а) і Шотткі (б)

30. Дайте визначення фононів, екситонів і поляронів.

Найпоширеніші динамічні дефекти - фонони – хвилі зміщень атомів (тимчасові викривлення регулярності решітки кристала, викликані тепловим рухом).

Екситон – це електронне збудження, що мігрує по кристалу без перенесення маси і заряду.

Полярон – це електрон провідності в кристалі і створена ним деформація кристалічної решітки (електрон оточений хмарою фононів).

31. Знайдіть відносну концентрацію вакансій при температурах 300, 500, 700, 1000 та 1500 К, якщо енергія утворення вакансії 0,5 еВ.

16. Знайдіть відрізки, які відтинають на осях координат площини (110), (111), (112) у кубічній решітці. Побудуйте названі площини.

17. Знайдіть індекси Міллера для площини, якій належать вузли .

1. Дайте визначення модуля Юнга, коефіцієнта Пуассона, об’ємного модуля пружності і модуля зсуву.

Модуль Юнга (Е) характеризує пружні властивості середовища в певному напрямі. Для лінійного напруженого стану ( - нормальне напруження; - видовження, спричиненого напруженням), тобто Е характеризує здатність матеріалів протидіяти деформації розтягу.

Коефіцієнт Пуассона ( - деформація поперечного звуження (розширення); - деформація поздовжнього видовження (стиску)). Експериментально встановлено, що коефіцієнт Пуассона лежить в діапазоні від 0,25 до 0,5 для рідин і 0,3 – 0,33 для твердих тіл.

Об'ємним модулем пружності , де - напруження; - відносна зміна об'єму. Об'ємниий модуль пружності характеризує здатність матеріалу протидіяти зміні його об'єму без зміни форми.

Модуль зсуву G визначає здатність матеріалу протидіяти зміні форми тіла при збереженні його об'єму G=c₄₄.

2. Сформулюйте основні висновки континуальної теорії пружності.

Континуальна теорія пружності розглядає тверде тіло як неперервне середовище (континуум).

Усереднене значення швидкості звуку : , де v_l і v_t - це швидкості поширення поздовжніх і поперечних хвиль у пружному середовищі.

Повне розв’язання хвильового рівняння для плоских хвиль шукають у вигляді , де - частота, - хвильовий вектор.

Не наводячи обчислення, можна відмітити їх основні результати:

• для кожного напрямку поширення існують три нормальні хвилі;

• закони дисперсії для них лінійні: ;

- в ізотропному середовищі одна із нормальних хвиль – поздовжня, а дві інші – поперечні з однаковими швидкостями та взаємно перпендикулярними поляризаціями. В усіх інших кристалах ці три хвилі комбіновані (не чисто поздовжні і не чисто поперечні). Важливо відмітити, що в рамках континуальної теорії пружності хвильові числа і частоти пружних хвиль є неперервні і необмежені величини.

12. Обчисліть максимальну частоту Дебая, якщо відомо, що молярна теплоємність срібла при 20k дорівнює 1,7 Дж/моль к.

4. Зобразіть графічно дисперсійну залежність для акустичних та оптичних коливань у лінійному ланцюжку атомів та поясніть принцип побудови.

Рисунок 2.4 - Дисперсійна залежність для акустичних (1, 1′) та оптичних (2) коливань

В кристалах, що складаються із двох або більше різних типів атомів, поряд із акустичними коливаннями можуть виникати й оптичні. Частоти оптичних гілок закону дисперсії значно вищі порівняно із акустичними. Початкова ділянка акустичної гілку відповідає звуковим хвилям, а частоти оптичної гілки при всіх k знаходяться в оптичному (інфрачервоному) діапазоні. Максимум на дисперсійній залежності 2 (рис. 2.4) можна пояснити на основі таких міркувань. Оскільки оптична гілка спостерігається у випадку двохатомних систем, то при коливанні атомів у взаємно протилежних напрямах результуючий хвильовий вектор близький або дорівнює нулю, але при цьому відносна швидкість атомів максимальна, що і спостерігається на залежності.

5. Поясніть, чому фонони називають квазічастинками.

Фонони є носіями енергії звукових хвиль (фононом також називається квант теплової енергії ).

На відміну від частинки для них не завжди виконується закон збереження імпульсу, вони не існують у вакуумі і не можуть утворювати атоми (молекули і речовини)

6. Яку енергію називають енергією нульових коливань?

Відповідно до квантової механіки енергія гармонічного осцилятора , де n – число фононів з хвильовим вектором на певній гілці. При Т=0К фононів немає (n=0) і - енергії нульових коливань.

8. Дайте визначення температури Дебая.

Температура Дебая (Ө_D) - температура, вище якої не збуджується жодне нормальне коливання.

Оскільки частота фононів і їх фазова швидкість пов’язані між собою рівнянням , то можна переписати його у такому вигляді: .

13. Для нагрівання срібла масою m=10г від 10К до 20К було витрачено 0,71Дж тепла. Визначити характеристичну температуру Дебая срібла (). Вважати .

14. Період решітки одновимірного кристала дорівнює 0,3нм. Знайти максимальну енергію фононів, якщо усереднена швидкість звуку в кристалі 5 км/с.

16. Обчислити мінімальну довжину хвилі Дебая в титані, якщо його характеристична температура 5°С, а швидкість поширення звуку 6^.10³ м/с.

17. Яка максимальна енергія фононів у кристалі свинцю, якщо його характеристична температура Дебая 94К?

11. Наведіть основні положення і співвідношення квантової теорії теплоємності кристалів, запропонованої П. Дебаєм.

П.Дебая припустив, що частота фононів змінюється в інтервалі від 0 до . В результаті обчислень були отримані співвідношення

1) Повна молярна внутрішня енергія визначається: .

Якщо ввести змінну величину , то: .

Значеня табличних інтегралів такі:

,

,

.

2) Молярна теплоємность кристала:

Як і у випадку теорії Ейнштейна, проаналізуємо кінцеві рівняння в 1) та 2) у двох граничних випадках:

а) <<1 (високі температури) ,

б) >>1 (низькі температури)