§1.7. Функция распределения по энергиям.

Учитывая определяющую роль энергии, естественно перейти от вероятности попадания молекулы в объем к вероятности для молекулы иметь энергию E. Для идеального газа нет необходимости рассматривать пространственную часть объема фазового пространства , т.к. энергия не зависит от координат для невзаимодействующих молекул. Ищем вероятность состояния молекулы с энергией в интервале от E до (E+dE), . Для определенной скорости v, или импульса p, область, соответствующая диапазону (E  E + dE), имеет вид тонкого шарового слоя, радиусом

Вероятность того, что энергия молекулы находится в диапазоне (E  E + dE), равна по теореме о сложении вероятностей

(1.40)

где интегрирование ведется по шаровому слою от p до p + dp. Так как шаровой слой очень тонкий, то внутри можно считать постоянной. Тогда

. (1.41)

Здесь введено обозначение - объем шарового слоя с радиусом p. Объем шара в импульсном пространстве равен

Объем шарового слоя равен . Учитывая, что , запишем . Итак, вероятность для молекулы идеального газа иметь энергию в интервале от E до E + dE равна

(1.42)

Функция распределения молекул по их энергиям, следовательно, определяется соотношением .

Важно отличать друг от друга две функции распределения. Функция микрораспределения представляет собой плотность вероятности обнаружить систему в единице фазового объема с координатами q и p.

Функция макрораспределения представляет собой плотность вероятности обнаружить систему в состоянии с определенной энергией при всех координатах и импульсах, соответствующих этой энергии (шаровой слой в фазовом пространстве).

Зависимость от энергии. Используя вероятностные соображения, можно найти зависимость функции от энергии. Выделим в газе квазизамкнутую подсистему из двух невзаимодействующих молекул. Энергия подсистемы- аддитивная величина - . Функция распределения подсистемы по теореме умножения вероятностей равна . Таким образом, функция распределения не аддитивная величина. Так как всегда удобнее работать с аддитивными величинами, то будем в квазизамкнутой системе рассматривать логарифм распределения, который есть аддитивная величина от энергии:

. (1.43)

Выражение (1.43) выполняется только тогда, когда является линейной функцией энергии E

, (1.44)

где  и  неизвестные пока постоянные. Итак, в общем случае

. (1.45)

До сих пор рассматривали идеальный газ. Однако все эти рассуждения могут быть применены к произвольному макроскопическому телу (неидеальные газы, жидкость, твердое тело). Для этого надо выразить дифференциал d_E через дифференциал dE и ввести функцию макрораспределения подсистемы по энергиям:

, , .