1. Двойной интеграл

Опр: если сущ-ет придел указанной суммы lim ∑ f( )*∆ при условии что кол-во кусочков разбиения стремится к D, не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора промежуточной точки М, то он называется двойным интегралом по области D от функции f(x,y)

D – область интегрирования

– интегральная сумма для f(x,y)

F(x,y)- подынтегральная фун-ия

F(x,y)ds – диф-ал элемента площади

Условия сущ-ия:

1. Необ.усл.

Ограниченность фун-ии в области D. Если интеграл существует, то ф-ия ограничена

2. Дост. Усл. Непрерывность фун-ии

Если фун-ия непрерывна, то интеграл сущ-ет.

Если придел сущ-ет, то он не зависит от разбиения обл. D на части, по этому разбивать на части мы будем прямыми параллельными осями координат

∆ = ∆

dS= dx*dy

Геометрический смысл 2ого интеграла

Пусть обл. D ЄOxy. Пусть в этой обл. определена неотриц. Z=f(x,y)≥0 – обл. непрерывна

Vт= =

Двойной интеграл от неотриц. Функции = V тела огранич. Сверху поверхностью f(x,y) , а снизу обл. D

Масса пластинки

M =

Свойства двойного интеграла

Пусть f(x,y), g(x,y) – инт-лы в обл D

1. 

2. 

3. Если область D разбита на 2 непересек. Области D1 и D2 внутренних точек, то D= D1UD2

4. то

5. 

6. Если m≤ f(x,y) dS≤ M∀(x,y)Є D ,то m*

7. Если

- среднее значение интеграла

2. Двойной интеграл

Опр: если сущ-ет придел указанной суммы lim ∑ f( )*∆ при условии что кол-во кусочков разбиения стремится к D, не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора промежуточной точки М, то он называется двойным интегралом по области D от функции f(x,y)

D – область интегрирования

– интегральная сумма для f(x,y)

F(x,y)- подынтегральная фун-ия

F(x,y)ds – диф-ал элемента площади

Вычисление двойного интеграла в прямоуг. Сист. Координат

Vт=

1)область правильная в напр. Оси у

V= ;

V=

Второй интеграл сводится к повторному интегралу , внутр. Интеграл по dy, вычисляется при условии что х=const , потом вычисляется внешний интеграл по dx.

2) если область правильная в направлении оси ОХ

3. Замена переменных.

X=

dx=

пусть z= f(x,y);

x=

y=

если определитель Якоби или Якобиана

Теорема : Если сущ-ют частные производные и являются непрерывными, то имеет место формуле замены переменных в двойном интеграле.

;

Область D та же область, но отличается она через другие уравнения ( в др. координатах)

Полярные координаты:

X =

Y=

=

dxdy

4. Тройной интеграл

U=f(x,y,z)- Функция 3х переменных

TЄR³

lim – интегральная сумма д/функции 3х переменных по области V

Если существует предел интегральной суммы при условии, что он не зависит от разбиения на части и выбора промежутка, то он называется тройным интегралом по области от функции 3х переменных.

Если этот предел не зависит от способа разбиения, то область будем разбивать плоскостью // координатным плоскостям, и i-тый кусок будет параллелепипед со сторонами

Vпаp=

dv=dx dy dz

Условие существования – непирывность функции в области V

U=f(x,y,z)

2) масса тела

Задача. найти массу тела,если его объемная плотность в кажд точ числ равна ординате этой точки. Тело огранич пов-ми: , y+z=1, 2y+z=2