25. Знакочередующийся ряд.

,

(4)

Теорема. (признак Лейбница )д/знакочередующихся рядов.

Если выполняются условия: 1) ; 2)члены ряда взятые по модулю образуют не возрастающую последовательность , то тогда ряд (4) сходится условно

Док-во: 1) возьмем четное кол-во ряда:

– возрастающая (неубывающая)

- ограничена, монотонна→ряд сходится.

- сход-ся

2) ; пусть сущ-ет

ряд сходится.

необх. Услов сходимости ряда.

Если ряд сходится по признаку Лейбница, то ряд наз-ся рядом Лейбница.

…+

,

Сумма

|Rn|≤

26. Знакопеременный числовой ряд.

Числовой ряд наз-ся знакопеременным, если он содержит ∞ кол-во как знакоположительных, так и знакоотрицательных членов ряда.

Теорема: составить ряд из модулей: (3)

Если сходится ряд (3)→сходится ряд (2).

Док-во:

0≤ ≤2

сравнить с по признаку сравнения ряд сходится.

Если ряд (3) сходится, то ряд (2) называется абсолютно сходящимся.

Определение: если ряд из модулей расход, а сам ряд сход, то такая сходимость называется условной, а ряд – условно сходящимся.

План:1) составить ряд из модулей (знакоположительный исследуем на сходимость (5 признаков) ); 2) если - сход - → сходится абсолютно.; 3) если - расход → исследуем на условную сходимость.

27. Функциональные ряды.

, члены которого – функции от х, называются функциональными. Совокупность значений х, при кот. Ф-ии определены и ряд сходится, называют областью сходимости функционального ряда.

сумма функционального ряда.

Сходящийся ряд называется равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для каждого сколь угодно малого числа ε>0 найдется такое целое положительное число N, что при n≥N выполняется равенство Rn(x)<ε для любого х из области Х.

- функциональная последовательность

- числовая последовательность

числовой ряд

Функциональная последовательность сходится в точке х0, если в этой точке сходится сходится соответствующая ей числовая последовательность

Если в точке х0 сходится числовой ряд в этой точке сходится функциональный ряд.

Если функциональный ряд сходится в каждой точке ∀хЄМ, то М – область сходимости функц. ряда.

М:хЄ(а,в) хЄ(-∞;а)U(в;+∞) М – область сходимости.

сходится →

Функциональный ряд сходится, если существует предел последовательности его частичных сумм.

28. степенной ряд – частный случай функционального ряда.

(1) Степенной ряд ряд по степеням х, ряд записанный в точке х=0.

(2) Степенной ряд со смещением ряд по степеням х-х₀ записанный в точке х=х₀

Степенной ряд всегда сходится хотя бы в одной точке. (1) в точке х=0,(2) в т. х=х₀

Если есть еще хотя бы одна точка в кот. Ряд сходится, то можно говорить об области сходимости.

Теорема Абеля. Если х₀ – точка сходимости ряда (1), то ряд (1) сходится абсолютно, для всех х /х/</х₀/

Док-во: Рассм. Ряд - сход-ся.

Рассм. Ряд из модулей:

огранич сходимость.→/ /≤М ∀n

Рассм. /х/</х₀/ →

Сходится ряд из модулей→ряд сходится абсолютно.

Следствие: если в точке х ряд (1) – расходится, то этот ряд (1) будет расходится д/всех /х/>/х₁/

Радиус сходимости степенного ряда.

Пусть х₀ – точка в кот. Ряд (1) сходится→(1) сходится д/всех /х/</х₀/, т.е. хЄ(-/х/;/х₀/)

Если д/точ. Х₀ (1) – расх д/ /х/>/х₀/, → /х₀/ = R – радиус сходимости степного ряда.

Ряд (1) сход в (-R;R)

Ряд (1) расходится в промежутке (-∞;-R)U(R;∞)

Замечание: в точках –R и R нужно делать доп исследование на сходимость.

Формула даламбера д/нахождения R

Рассм (1)

=|x|

|x|< - сход.

|x|> - расход

радиус сходимости степенного ряда (1)

Формула Коши

Замечание 1. Ряд (1) сходится д/всех х (-R;R); Ряд (1) расходится д/всех (-∞;-R)U(R;∞); В точках –R и R нужно делать доп исследование на сходимость

Замечание 2. R=0 (по даламберу и Коши) → ряд (1) х=0 – сход.

Замечание 3. R=∞→Ряд (1)сходится на (-∞;+∞)

Замечание 4. Пусть формулы Даламбера и Коши те же самые, но : ряд (2) сход (х₀-R;х₀+R); ряд (2) расход (-∞;х₀-R)U(х₀+R;∞)

В точках х₀±R – проводим доп исследование. В случае R=0→ряд (2) сход в х=х₀.

29. степенной ряд – частный случай функционального ряда.

(1) Степенной ряд ряд по степеням х, ряд записанный в точке х=0.

(2) Степенной ряд со смещением ряд по степеням х-х₀ записанный в точке х=х₀

Степенной ряд всегда сходится хотя бы в одной точке. (1) в точке х=0,(2) в т. х=х₀

Если есть еще хотя бы одна точка в кот. Ряд сходится, то можно говорить об области сходимости.

1) в области сходимости ряда М - непрерывная функция, т.е. =

2) если = , то =

3) можно почленно интегрировать:

4) , R_a

, R_b

- сход, радиус сходимости будет не меньше, чем наименьшее из чисел