1.A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.

Азн1.Няхай Х-непустое мноства.Будзем казаць, што на мностве Х вызначана бінарная алгебрычная аперацыя, калі кожнай спарадкаванай пары (a,b) элементаў мноства Х пастаўлены ў адпаведнасць адназначна вызначаныэлемент з мноства Х.

_Азн2.Будзем казаць, што элемент n Х зьяўляецца нейтральным у дачыненні да бінарнай алгебрычнай аперацыі , калі для кожнага а Х, а n= n _{а =а}

_{Азн3.Бінарная алгебрычная аперацыя на мностве Х наз асацыятыўнай , калі для адвольнага a,b,c X}

_{a (b c)=(a b) c}

_{Азн4.Няхай на мностве Х вызначана бинарная алгебрычная аперацыя ,якая мае нейтральны элемент n. Элемент а1} Х наз сіметрычным да элементу а Х у дачыненні да аперацыі _{, калі}

_{a а1=а1 а=n}

Азн5. Бінарная алгебрычная аперацыя _{на мностве Х, наз камутатыўнай, калі для адвольных элементаў a,b} X

a _{b=b a}

2. A. Колца(19), поле. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці. Два крытэры падколца(4). Два крытэры падполя.(2)

Азн.1: Непустое мноства R≠Ø, на якім вызначаны бінарныя алгебраічныя аперацыі складання і множання, наз. колцам, калі выконваюцца наступныя аксіёмы:

1. – асацыятыўнасць складання;

2. ;

3. - процілеглы да элементу а;

4. - камутатыўнасць складання;

5. – дыстрыбутыўнасць;

6. – асацыятыўнасць множання.

Азн.2: Колца R наз. камутатыўным, калі

.

Азн.3: Колца R наз. колцам з адзінкаю, калі , .

Азн.4: – колца наз. падколцам колца R, калі К ёсць колца ў дачын. да аперацыяў,вызначаных ў R.

Азн.5: Камутатыўнае колца F з адзінкаю наз. полем, калі ў ім больш за адзін элемент (|F |>1) і

, адваротны да а.

Азн.6: наз. падполем поля , калі Р ёсць поле ў дачыненні да аперацыяў, вызначаных у .

Тэарэма 1 (першы крытэр падколца): з’яўл. падколцам колца R к.іт.к. выконваюцца наступныя ўмовы:

; .

Тэарэма 2 (другі крытэр падколца): - колца з’яўл. падколцам колца R к.іт.к. выконваюцца наступныя ўмовы: .

Тэарэма 3 (першы крытэр падполя): Падмноства Р поля F, у якім больш за адзін элемент (|F|>1), з’яўл. падполем поля F, к.іт.к.:

1. P – падколца F; .

Тэарэма 4 (другі крытэр падполя): PcF – поле, |P|>1, з’яўл. Падполем поля F к.іт.к.:

;

.

Прыклад: - колца

3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.

Азн.1: Няхай n N, a,b Z. Будзем казаць, што a параўнальны з b па модулі n, калі n дзеліць (a-b), г.зн. (a-b) дзеліцца на n. Запісваецца a b(mod n).

Уласцівасці парананняў:

;

2. ;

3. – дачыненне параўнальнасці па модулі n ёсць дачыненне эквівалентнасці на мностве Z;

;

Сцв.1: Цэлыя лікі a,b Z, к.іт.к. яны маюць роўныя астачы пры дзяленні на n.

Доказ: Падзелім a і b з астачаю на n, г.зн. запішам іх у выглядзе:

) n дзеліцца на .

З уласцівасці 3) вынікае, што Z падзяляецца на неперасякальныя класы параўнальных па модулі n лікаў. Паводле сцв.1 2 цэлыя лікі належаць аднаму класу к.іт.к. калі яны маюць аднолькавыя астачы пры дзяленні на n. Гэтыя класы наз. рэштамі па модулі n.

Вызначым на мностве аперацыі складання і множання формуламі:

.

Тэарэма 2: Мноства у дачыненні да аперацыяў (1) ёсць камутатыўнае колца з адзінкаю.

Колца наз. колцам рэштаў па модулі n.

Тэарэма 2: абарачальны ў к.іт.к. узаемна простыя.

Доказ: абарачальны ў к.іт.к. абарачальны ў