- •§27. Графич. Изоб-е ф-ции.
- •§1. Понятие производной ф-ции.
- •§2. Дифференциал ф-ции.
- •§3. Геометрич. И физический смысл производной и дифференциала функции.
- •§5. Дифференцирование сложной функции.
- •§6. Дифференцирование обратной функции.
- •§7. Инвариантность формы записи дифференциала.
- •§8. Арифметич. Операции над диф. Ф-циями.
- •§9. Дифференцирование элементарных функций.
- •§11. Производные высших порядков.
- •§12. Дифференциалы высшего порядка.
- •§13. Приложения дифференциала при приблеженных вычислениях.
- •§15. Раскрытие неопредел-тей по пр.Лопиталя.
- •§16. Сравнение роста стнпенной логарифмич. И показатю функции.
- •Раздел 4. Иссл-е ф-ций методом диф. Исчисления и постр-е графиков.
- •§17. Условия постоянства возр-я и убывания ф-ции.
- •§18. Экстремум ф-ции. Наиб. И наим. Знач-я.
- •§19. Направления выпуклотости и вогнутости кривой и точки перегиба.
- •§20. Исследование ф-ций и постр-е графиков.
§27. Графич. Изоб-е ф-ции.
1. График ф-ции.
В § 7 мы дали опр-е графика ф-ции. Пусть задана ф-ция f(x) на Е, тогда графиком f(x) наз. всё мн-во упорядоч. пар (x,f(x)), где . Для постр-я графика ф-ции y=f(x) необходимо нанести на корд-ю пл-ть ХОУ мн-во точек с координатами (xi ;f(xi)), являющихся характерными точками для заданной ф-ции, а затем соединить эти точки линией, учитывая хар-р (св-ва) данной ф-ции.
2. Асимптоты кривой.
Опр.: асимптотой наз. прямая, расстояние от которой до графика ф-ции стремится к нулю, когда точка М(x; f(x)) оставаясь на графике уходит в бесконечность при , либо .
Асимптоты бывают вертикальные или наклонные, в частности, горизонтальные.
Прямая х=а наз. вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x), если хотя бы один из пределов или равен бесконечности опред. знака.
Прямая y=kx+в наз. наклонной асимптотой графика ф-ции y=f(x) при , если эта ф-ция f(x)может быть представлена в виде - б.м.ф. при х .
Для того чтобы график ф-ции y=f(x) при либо имеем наклонную асимптоту y=kx+в необх. и дост., чтоб существовали 2 предельных значения: эта теорема очевидна, из опр. наклонной асимптоты. При к=0 из накл. асимптоты получаем y=в – горез. асимптоту, т.е. у=в явл. гориз. асимптотой, если .
Если ф-ция f(x) представима в виде - б.м.ф. при , то говорят, что ф-ции f(x) и g(x) наз. асимптотически равными при .
3. Выпуклые ф-ции.
Пусть задана y=f(x) на инт-ле (а;в). Говорят, что ф-ция y=f(x) имеет график выпуклым внизу (вогнутым), если для выбор. х1 и х2 и любого фиксир. , удовлю условию будет выполнятся нер-во . И будет наз. выпуклой вверх, если при тех же условиях будет выполняться нер-во. . Выпуклотость вверх часто наз. просто выпуклотостью.
4. Построение графиков.
Для того, чтобы более точно построить график ф-ции, нужно исслед-ть её. Схема иссл-я ф-ции может быть произвольной.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
§1. Понятие производной ф-ции.
В §22 части I мы ввели понятие приращения аргумента и преращения ф-ции (см. опр. 5).
Пусть дана ф-ция y=f(x) в некот. окр. точки . Пусть , тогда
.
Определение 1. Если существует конечный предел отношения преращения ф-ции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю: , то этот предел наз. производной ф-ции f в точке х0 и обозначается f/ (x0), . Таким образом илчи (знак ∞ существенен), тоговорят, что ф-ция f(x) в токе х0 имеет бесконечную производную = +∞ или -∞ соответственно.
Если ф-ция имеет производную в точке х0, то в этом случае будем считать только существование крнечного предела, т.е. конечной производной.
Опр. 2: если ф-ция f определена в некотор. правосторонней (левост.) окр-ти точки х0 и конечный или бесконеч. опр. знака предел , то этот предел наз. соответственно конечной или бесконечной правой (левой) производной ф-ции f в точке х0 и обозначают соответственно: .
Правая и левая произв. наз. односторонними.
Из т. 2 §16 об одностор. пределах следует, что ф-ции f(x), заданная в окр. х0 имеет производную тогда и только тогда, когда существую и равно, т.е. .
Если ф-ция f(x) задана в области Д(у) и в кажд. точке х из Д(у) имеем производную f/(x), то это значит, что на мн-ве Д(у) определена ф-ция f/(x), которую наз. производной ф-ции f/(x), а саму ф-цию f в этом случ. наз. первообразной для ф-ции f/(x).
Операцию вычисления производной заданной ф-ции f(x) наз. дифференцированием.
Примеры: