1/Матрицы .Осн определения

Матр. -прямоугольная таблица чисел, содержащая м столбцов и н строк.

A_ij-эдемент на пересеченииi строки и о столбце.

А₁₁,а₂₂…А_мн обр. главную диоганаль.

А=(а_ij )_m*n

Матр называются равными,если равны их соотв.элементы.

Матр квадратная,если n число строк=n числу столбцов(матр n-го порядка).матр диагональная,если все элементы кроме гл.диагонали=0.

Диаг.матр.у которой на главной диаг.1 назыв.единичной.

Квад.матр.называется треугольной,если все элементы по одну сторону диог. 0.

­­­­­­­­­­­­­­­­­­2/Лин опер над матр.

1)+ скл.можно матр.одного размера

А+В=С=С_ij =aij+bij (скл.соотв элементы)

2)Aij*k= Bij,такая что bij=k*aij для всех элем.

Свойства:

1.А+В=В+А

2.L(A+B)=LA+LB

3.(A+B)+C=A+(B+C)

4.(L*B)A=L(B*A)

Матр. А^Т наз. Транспонированной к А ,если она получ заменой строк столбцами.Св:

1)(Ат)т=А

2)(А+В)т=Ат+Вт

3)(АВ)т=Ат*Вт

Согласованная матр,Если колво столбцов=колво строк(произведение только для согл.)

Элемент Сij=сумме произвед. I строки март А на о столбец матр. В. Свойства

1)А*В не равно В*А

2)А(В+С)=АВ+ВС

3)L(AB)=LA*B=LB*A

_________________

3/Определители-число,кот. Ставиться в соответствие квадр.матрице

1)опр.2го порядка=

/-\=а11а22-а12*а21

2)опр.3го порядка(правила соррюса) =

+\-/

Св:

1)опр.с двумя одинаковыми рядами=0

2)опрюс нулевым рядом=0

3)опр.диаг.матр=произаед.элем.главной диогонали

4)общий множ ряда можно вынести за знак опред.

5)|A|=|At|

6)|A|*|B|=|A*B|

7)при переставление двух рядов,опр.меняет знак

4/Минор элемент a_ij-опр.кот получается вычеркиванием строки I и столбца J

Алг.доп. элемента Аij наз.произведение минора Mij и (-1)^i*j

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТРОКЕ/СТОЛБЦУ

=произ.элементов любого ряда на соотв алг.доп. напр:А11=

(-1)¹⁺¹ * матр с вычеркнутоми рядами1 и 1

___________________

5/Обратная матрица

А назыв невыраженной,если |A| не равен 0.

А^-1 *А=Е

Матрица,сост.из алг.доп. называется союзной.

А^-1 =1/|A| *(A^*)^T

____________________

6/Матечные уравнения 1 тип:А*Х=В А^-1*А*Х= А^-1 *В Х=А^-1*В 2тип: Х*А=В Х=В*А^-1

^{______________________________}

7/Системы линейных уравнений

А11…Амн-коофюпри неизвестных Х1…Хн-неизв в1…вм-своб.члены

Решение-совокупность чисел,кот при подст в уравнение дает верное решиние

Если есть хоть одно решение-система совместна

Метод крамера. Заменойстолбца свободным членом.х=

_______________

8/Метод жардана гауса

Март ступенчатая ,если в каждой строке кол-во 0 увеличюна 1

Элеменюпреобраз:

1)перемена строк местами

2)умножение строки на любое не рав 0 число

3)приб.к одной строке соотв элементы другой*на одно и то же чичсло

Привели матрюк ступенч виду и:1)чило не нулевых строк=числу неиизю значит 1 решение

2)число не нулевых строк меньше неизв значит множество решений

3)(0 0 0|b) значит нет решенийъ

Чтобы получить общее реш. надо баз.решения выразить через свободные

__________________