- •Модуль непрерывности. Равномерная непрерывность функции на множестве.
- •Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке
- •Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную. Геометрический смысл производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Билет 4 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Арифметические свойства производной.
- •Производная сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Производная обратной функции. Производные элементарных функций.
- •Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое условие, достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке. Теорема Ферма.
- •Теорема Ролля. Геометрический и физический смысл.
- •Теорема Коши. Физический смысл.
- •Теорема Лагранжа. Геометрический и физический смысл. Формула конечных приращений.
- •Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
- •Условие постоянства функции на отрезке.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Формула Тейлора для многочленов.
- •Формула Тейлора для дифференцируемых функций с остаточными членами в форме Пеано, Лагранжа, Коши. Единственность разложения.
- •Формула Тейлора для основных элементарных функций.
- •Билет 22 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Непрерывна в и . Тогда, если - нечетное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли или , а если четное, то есть точка перегиба кривой.
- •Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
- •Асимптота. Виды асимптот. Уравнение наклонной асимптоты.
- •Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Теорема о разложении рациональной дроби на элементарные.
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
- •Интегрирование выражений вида .
- •Тригонометрические подстановки.
Интегрирование рациональных дробей.
Пусть нужно найти неопределенный интеграл от рациональной действительной дроби. Если степень многочлена P k не меньше степени многочлена Q n ( ), то прежде всего разделим P на Q :
Многочлен R интегрируется без труда, а – правильная действительная дробь. Все трудности сводятся к интегрированию правильной дроби, которую мы снова обозначим через и представим в виде:
Тогда пусть ,
1 случай.
Знаменатель содержит простые действительные корни, тогда его можно разложить на простейшие множители: (см.Теор.1)
. Тогда
Приравнивая тождественно равные числители, получим:
Существуют 2 метода нахождения :
сравниваем коэффициенты при x с одинаковыми степенями; однако этот метод очень трудоемкий.
Т.к. равенства тождественны, можем взять , тогда . Так, подставляя поочередно найдем все
Т.о., мы получили сумму элементарных дробей, которые можем легко проинтегрировать.
Пример
2 случай.
Знаменатель содержит кратные корни, тогда его можно представить в виде:
.
Пусть существуют n различных корней с кратностями , тогда
- и делаем все так же, как и в предыдущем примере.
Пример
3 случай.
Знаменатель содержит кратные корни и многочлены, имеющие комплексные корни;
, где многочлены , имеют комплексные корни.
Тогда R(x) представим в виде:
Снова приводим к общему знаменателю и приравниваем числители.
Пример
4 случай
Знаменатель содержит кратные действительные и кратные комплексные корни;
Тогда R(x) представим в виде:
А дальше все делаем по старой схеме: методом неопределенных коэффициентов находим A, B...
Пример
Билет 33
Интегрирование тригонометрических выражений.
Пусть , где и - многочлены от u и v.
1) Если один из многочленов , четный по , а другой – нечетный по , то подстановка рационализирует интеграл.
2) Если один из многочленов , четный по , а другой – нечетный по u, то подстановка рационализирует интеграл.
3) Если оба многочлена четные по u и , то подстановка рационализирует интеграл.
3’) Выражения вида , где и - четные. Они сходны с 3 случаем, где
4) Универсальная подстановка.
Рационализация также достигается с помощью подстановки , которая называется универсальной. В самом деле,
; ;
.
5) Выражения вида ; ; . Они рационализируются с помощью перевода в тригонометрические суммы.
Билет 34
Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
Пусть многочлен имеет вещественные корни.
Пусть - корни, тогда .
Рассмотрим подстановку
Вторая подстановка Эйлера для интегралов вида , где .
Корни трехчлена ax2+bx+c комплéксные. Тогда надо считать, что a>0, иначе трехчлен был бы отрицателен для всех x. Делаем подстановку .Возводя это равенство в квадрат и заменяя его выражением, получим:
Где x, y и dx – некоторые рациональные функции от t. В конечном счете получаем:
.
Билет 35
Интегрирование выражений вида .
Докажем, что любой такой интеграл – берущийся в элементарных функциях. Пусть , т.к. . Пусть m=НОК , . Сделаем замену: , тогда , причем последнее выражение - рациональное, т.к. m делится на любое .
Тогда получим, что x=φ(t), dx=φ΄(t)dt, где φ(t) и φ΄(t)dt – рациональные выражения, поэтому: - тоже рациональное выражение
Билет 36