- •Модуль непрерывности. Равномерная непрерывность функции на множестве.
- •Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке
- •Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную. Геометрический смысл производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Билет 4 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Арифметические свойства производной.
- •Производная сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Производная обратной функции. Производные элементарных функций.
- •Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое условие, достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке. Теорема Ферма.
- •Теорема Ролля. Геометрический и физический смысл.
- •Теорема Коши. Физический смысл.
- •Теорема Лагранжа. Геометрический и физический смысл. Формула конечных приращений.
- •Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
- •Условие постоянства функции на отрезке.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Формула Тейлора для многочленов.
- •Формула Тейлора для дифференцируемых функций с остаточными членами в форме Пеано, Лагранжа, Коши. Единственность разложения.
- •Формула Тейлора для основных элементарных функций.
- •Билет 22 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Непрерывна в и . Тогда, если - нечетное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли или , а если четное, то есть точка перегиба кривой.
- •Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
- •Асимптота. Виды асимптот. Уравнение наклонной асимптоты.
- •Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Теорема о разложении рациональной дроби на элементарные.
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
- •Интегрирование выражений вида .
- •Тригонометрические подстановки.
Теорема Коши. Физический смысл.
Теорема: (Коши о среднем)
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и имеют производные на интервале (a,b), одновременно не обращающиеся в ноль. При этом g(b)-g(a)0 (что следует из условия g΄(x)0). Тогда на интервале (a,b) найдется точка ζ, для которой выполняется неравенство:
, a<ζ
Доказательство: Вводим функцию H(x) = (f(b) - f(a)) · g(x) – (g(b) - g(a)) · f(x). Очевидно, что она непрерывна на [a,b] и имеет производную на (a,b), т.к. f(b) - f(a) и g(b) - g(a) постоянны. Кроме того, H(a)=H(b), поэтому по теореме Ролля найдется такая точка ζ из (a,b), что H΄(ζ)=0.
H΄(ζ) = (f(b)-f(a)) · g΄(ζ) – (g(b)-g(a)) · f΄(ζ) = 0 (f(b)-f(a)) · g΄(ζ) = (g(b)-g(a)) · f΄(ζ) , т.к. по условию g(b) - g(a)0 и g΄(x)0 на (a,b).
Теорема доказана.
Физический смысл: Если f΄(x) и g΄(x) – скорости, то отношение перемещений равно отношению скоростей в какой-то момент времени.
Билет 15
Теорема Лагранжа. Геометрический и физический смысл. Формула конечных приращений.
Теорема:
Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале . Тогда существует на интервале точка , для которой выполняется равенство
(1),
причем .
Доказательство:
В теореме Коши, возьмем . Тогда , , .
Из теоремы Коши: теорема доказана.
Физический смысл:
Найдется момент времени когда (средняя скорость равна мгновенной)
Г еометрический смысл:
Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на функции, имеющей производную на , то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой и .
Равенство (1) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение удобно записывать в виде , где есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам . Тогда формула Лагранжа примет вид
Она верна, очевидно, не только для , но и для .
Билет 16
Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
Определение: Функция называется строго возрастающей на отрезке [a,b], если для любых точек , из [a,b], удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .
Определение: Функция называется неубывающей на [a,b], если из того, что и следует, что .
Определение: Функция называется строго убывающей на отрезке [a,b], если из того, что и следует, что .
Определение: Функция называется невозрастающей на [a,b], если из того, что и следует, что .
Пример:
Если убывает на и на , то нельзя говорить, что убывает на .
Теорема 1: (необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке )
Если функция возрастает (неубывает) в точке и дифференцируема в , то .
Доказательство:
Теорема доказана.
Пример: возрастает в 0 и
Теорема 1’: (необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке )
Если функция убывает (невозрастает) в точке и дифференцируема в , то .
Доказательство – аналогично теореме 1.
Теорема 2: (достаточное условие возрастания)
Если функция дифференцируема в и , то возрастает в точке .
Доказательство:
возрастает.
Теорема доказана.
Замечание: Если в точке , то ни про возрастание, ни про убывание ничего сказать нельзя.