6. Метод итерации. Для решения слау. Оценка погрешности

- ?

выберем некоторое натуральное р>0

если многократно воспользоваться тем что для сходимости ||a||<=1 то

при р->inf =>

(8)

(9)

(10)

Доп инфа:

если то ,

(11)

оценка погрешности позволит узнать количество операций

k - ? , решить относительно k

7. Метод Зейделя.

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении -ого приближения неизвестной учитываются уже вычисленные ранее -ые приближения неизвестных , ,..., .

Пусть дана приведенная линейная система . Выберем произвольно начальное приближение , ,…, . Далее предполагая что k-ое приближение известно, вычисляем -ое приближение по формулам

,

,

………………………………..

,

…………………….

.

Заметим, что для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы выполнялось условие для какой-либо нормы матрицы. Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации.

8. Метод половинного деления

9. Метод хорд

10. Метод Ньютона (касательных)

11. Метод секущих

применяется если f(x) мало меняется на [a;b]

12. Комбинированный метод

Требуется найти все или несколько корней уравнения:

(1)

Пусть и - приближенные значения корня по недостатку и по избытку. 2 последовательности по методам касательных и хорд

а) Если на , то

,

при этом .

б) Если на , то

,

при этом .

метод работает пока на выполнится условие

где - точность

1 3. Метод итераций для решения трансцендентных уравнений. Сходимость

14. Метод итераций для решения трансцендентных уравнений. Оценка погрешности

Достаточное условие сходимости метода итераций:

_пусть определена и непрерывно дифференцируема на [a;b]

и то существует q: 0<q<1: то процесс итераций сходится и существует 1 корень ур-я (2) => и ур-я (1) вне зависимости от выбора начального приближения

(11)

(12)

решаем относительно n и узнаем при каком n (12) будет , ибо считается что должно быть

15. Метод итерация для системы 2х уравнений

замечание:

(1)

уточним корни графически

- где то там лежит корень

(2)

(3)

выясним всегда ли сходится?

{x_n} {y_n} -если сходятся, то сходятся к точному решению (2) при

условие завершения

Теорема о сходимости (достаточное уловие)

пусть и

тогда q1,q2 0<q_i<1 i=1,2

то есть процесс итераций сходится к единственному решению с-мы (2)

данная теорема справедлива если