38. Классификация численных методов приближенного решения обыкновенных диффуров
Задача коши
ДУ
1 порядка
начальные
условия:
Если фнк f(x,y) непрерывная на R
то
∃
одно решение в окрестности точки
- решение единственное если выполнится
условие Липшица
Если
то
- приближенно находим решение
Сеточные методы
x [a; b]
a = x0 < …. < xi < …< xn = b (4)
строится одномерная сеть, в простейшем случае узлы равноотстоящие
yi = y(xi) - приблженно находят
Классификация численных методов
yi+1 = F(yi-q , yi-q+1 , … , yi , yi+1 , …yi+q) (5)
большинство методов сводят к виду (5)
F – неизвестная ф-я, определяемая видом метода, уравнения (1) и вида сетки (4)
q=0; 0<=s<=1 ->одношаговые методы(значение в одной точке)
q>=1 или s>1 -> многошаговые
одношаговые и многошаговые методы:
s=0 ->явные методы
s=1 ->неявные
s>1 ->методы с забеганием вперед
39. Метод Эйлера
– простейший 1-шаг.метод
Дано: (1), (2), X [a; b]
xi+1 - xi =h=const {[a; b]} разбить на равные промежутки
На первом шаге метода Эйлера искомая функция y = Fi(x, C0) заменяется на отрезке [x0, x1], x1 = x0 + h касательной, проведенной к ее графику в точке (x0, y0). Величина y1 = y0 + h*f(x0, y0) берется в качестве приближенного значения Fi(x1, C0). В результате получим точку (x1, y1) через которую проходит некоторая интегральная кривая y = Fi(x, C1). На следующем шаге строится касательная к интегральной кривой y = Fi(x, C1) на отрезке [x1, x2] и т.д. Через n шагов получается ломаная линия, состоящая из отрезков касательных, кторая считается приближенным решением задачи.
Pассмотрим звено MiMi+1
=
f(xi;
yi)
(6)
M0Mi…Mn - ломаная Эйлера
y(x0) = y0
xi+1 = xi + h
yi+1=yi+hf(xi, yi) (7)
“+” : простота,
невыс.треб. к гладкости
“-“: малая точность
систематическое накопление ошибок
n*h2 = (b-a)*h – O(h2)
40. Модифицированный метод Эйлера
O(h3); O(h2)
глобальные параметры(??? Что это?? Может h?)
1) Усовершенствованный метод ломаных
Смысл метода – прокидываем касательные в 2 раза чаще чем в обычном методе Эйлера, так как вычисляем кроме xi+1 и yi+1 ещё xi + ½ и yi + ½.
Cуммарная погрешность h2
2) Метод Эйлера Коши
Суть
метода – по сравнению с обычным Эйлером
здесь уточнение графически заключается
именно в BC, т.е. мы на половине отрезка
считаем [f(xi,
yi)
+ f(xi+1,
)],
тем самым уточняя точку, куда бросим
следующую касательную.
Погрешность метода на каждом шаге имеет порядок h3. Суммарная погрешность h2.
3) Метод Эйлера-Коши с уточнением
Усовершенствованный метод Эйлера-Коши можно ешё быстрее уточнить, применяя итерационную обработку значения yi+1 исходя из грубого приближения
yi+1[0] = y0 + h* f(xi, yi)
yi+1[k]
= yk
+
*
f(xi,
yi) -
(9)
|yi+1[k] = yi+1[k-1]| < - условие прекращение итераций
k > 4 => это простейший неявный одношаговый метод (что за хуйня…. – прим. оцифровщика)
41. Метод Рунге-Кутта
42. Многошаговые методы. Метод Адамса
43. Метод стрельбы
метод стрельбы сводится к многократному применению задачи коши
44. Редукция к задачам коши двухточечной кривой задачи для линейного ур-я 2ого порядка
(5)
(7)
(8)
(7), учитывая (8) и (9)-решение (5)
45. разностные методы решения краевых задач
46. Проекционные методы. Метод коллакаций
47. Проекционные методы. Метод наименьших квадратов
48. Проекционные методы. Метод Галеркина
