1. Делимость целых чисел

Полагаем, что в произвольном подмножестве натуральных чисел всегда есть наименьшее.

Определение. Пусть a, bZ. Если существует qZ, что a = bq, то b делит a, или a делится на b, обозначаем b|a.

Простейшие свойства делимости:

1) Если a|b, b|c  a|c. Если a делит b и b делит c, то a делит c.

2) Если a,b,с и с не равно 0, то a делит b тогда и только тогда, когда ac делит bc, т. е. a|b; c0  ac|bc, a, b, cZ.

3) d|ai; i=1,…,n,x1,…,xnZ  d|a1 x1 +…+an xn.

4) a|b; b|a  a =b.

Доказательство всех свойств однообразно: используется только определение делимости. Докажем:

4) a = bq и b = aq1  a = aqq1  a(qq1 – 1) = 0  qq1 = 1, т. к. a0  q = 1.

Теорема (о делении с остатком).

Для любых a, bZ; b  0 существует единственная пара q, rZ такая, что a = bq+r, 0 r|b|.

Доказательство: Рассмотрим множество M = {a – bq, qZ}. Очевидно, что M∩{N, 0}Ø.

В любом таком множестве  наименьшее r. Очевидно, что |b|>r ≥0.

Докажем единственность.

Пусть ещё a = bq1 + r1. Тогда вычитанием из первого второе получим

0 = b(q – q1) + r – r1. Отсюда следует, что r – r1 кратно b, но |r – r1|<|b|.

Следовательно, r – r1 = 0, а поэтому и q – q1 = 0.

2. Построение комплексных чисел.

Уравнение x^2+1=0 не имеет решения в области действительных чисел. Построение комплексных чисел попутно решает задачу о расширении множества действительных чисел до такого множества, чтобы уравнение x^2+1=0 имело решение.

В качестве исходного материала для построения комплексных чисел возьмём множество точек плоскости. Будем их обозначать z1, z2,…, zn. Если на плоскости выбрана Декартова система координат, то между точками на плоскости и множеством пар чисел (a, b), где a и bR, можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е.

z =(def) (a, b), где =(def) – равно по определению.

Введём операции сложения и умножения точек плоскости.

Определение 1. Под суммой точек z1=(a, b) и z2=(c, d) будем понимать точку z = z1+z2 (a+c, b+d).

Определение 2. Под произведением точек z1=(a, b) и z2=(c, d) будем понимать точку z = z1z2 =(def) (ac–bd, ad+bc)

Теорема 1.

1) z1+z2=z2+z1 — коммутативность сложения;

2) (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) — ассоциативность сложения;

3) z1z2= z2z1 — коммутативность умножения;

4) (z1z2)z3= z1(z2z3) — ассоциативность умножения;

5) (z1+z2)z3 = z1z3+z2z3 — дистрибутивность умножения относительно сложения.

Для любых z1, z2, z3.

Доказательство утверждений 1) – 5) сводится к подсчёту правой и левой частей и проверке их равенства. Докажем, например, 3) :

z1z2 = (ac–bd, ad+bc) = (ca–db, cb+da) = z2z1  z1z2= z2z1.

Введённые операции сложения и умножения обладают теми же свойствами, что и числа.

Определение 3. Под разностью точек z1=(a, b) и z2=(c, d) будем понимать точку z = (x, y) такую, что z2+ z = z1, т.е.

z2+z = z1  

z1–z2 = (a – c, b – d).

Определение 4. Пусть z1 = (a, b), z2 = (c, d), z2 (0, 0).

Частным двух точек z1 и z2 называют точку z = (x, y) такую, что z2z = z1, т.е.

 

x = ; y = .

Точка с координатами (0, 0) играет роль нуля. Роль единицы играет точка с координатами (1, 0). Противоположной точке z1 = (a, b) будет точка z2 = (–a, –b).

Определение 5. Два комплексных числа равны, если равны их мнимые и действительные части (следует из геометрической интерпретации комплексных чисел).

Два комплексных числа называют сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые — противоположны (сопряжённое к z обозначаем через ).

Теорема 2.

Справедливы следующие соотношения:

1) = + ;

2) = – ;

3) = ;

4) = .

Доказательство.

Доказательство 1) – 4) однообразно и сводится к подсчёту левой и правой частей и их сравнению. Например: z1=a+bi, z2=c+di. Докажем

1) = + . По определению = a-bi ; =c-di и = (a+c)–(bi+di), + = (a–bi)+(c–di) = (a+c)–(bi+di).

Значит = + .